変分法の問題について

質問

変分法の問題が分かりません。どなたか教えてください。
汎関数∫x_1~x_2F(x,y,y')dxの極値を与えるy(x)を求める。
(1)任意の微分可能な関数η(x)に対して、Y(x)=y(x)+kη(x)とおく。実数kが微小であるとき、（|k|<<1)、δI=I(Y)-I(y)をkについて展開し、一次の項まで示せ。
(2)I(y)の積分範囲両端において、y(x_1)=y_1, y(x_2)=y_2が満たされるとする。(1)の結果を用いて、I(y)の極値を与える条件をF, x,y,y 'の式で表せ。
(3)(2)の積分範囲の端点のうち、y(x_1)=y_1のみが与えられているとき、I(y)の極値を与える条件を求めよ。
(4)F(x,y,y')=(y ')^2+y＾2, x_1=0, x_2=1, y(x_1)=1のとき、I(y)の極値を与える関数y(x)を求めよ。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

(1)「マクローリン近似せよ」と書いたでしょう？

Y(x) = y(x) + kh(x) と置くと、
y, h を固定したとき F(x,Y,Y') は k の関数であって、
その一次近似は、平均値定理と合成関数の微分を使って
F(x,y+kh,y'+kh') = F(x,y,y') + {∇F(x,y,y')・(0,h,h')}k + O(k^2).　　←[*]
ただし、「・」は内積を表す。

[*] を x∈[x1,x2] で積分すると、
I(Y) = I(y) + k ∫[x1,x2]{∇F(x,y,y')・(0,h,h')}dx + O(k^2).
これが、I(Y) の k に関する一次近似になっている。

あるいは、
I(Y) - I(y) ≒ k ∫[x1,x2]{∇F(x,y,y')・(0,h,h')}dx.

(2) さて、次。

その「極値」というのが、汎関数としての極値
すなわち、Y が y の近傍にあるときの I(Y) の最大or最小
という意味であれば…

極値の必要条件として、まず Y = y が臨界点であるために、
任意の関数 h に対して ∫[x1,x2]{∇F(x,y,y')・(0,h,h')}dx = 0
であることが必要(かつ十分)。

さて、この条件をどうしようか…

お礼

ありがとうございました。うまくいきました。

回答No.1

alice_44

一問づつ行こうか…
(1)
まず、I(y) って何？ それを書こう。
I(y) が私の想像どおりのものであれば、
この小問は要するに I(Y) を k について
マクローリン近似せよってことなんだけど、
できる？ できたら、補足に書いてね。

補足

回答ありがとうございます。I(y)=∫x_1~x_2F(x,y,y')dxとして、
δI=I(Y)-I(y)
　 =∫x_1~x_2F(x,y(x)+kη(x),(y(x)+kη(x))')dx
-∫x_1~x_2F(x,y,y')dx
このあとはどうすればよいのでしょうか。