変分問題

質問

オイラー・ラグランジュの方程式を導き出す途中の時点でつまづいてしまっていますorz

まず、汎関数

I = ∫_(x1)^(x2) F(x,y,y')dx (x1は下底、x2は上底）

を考えます。
次に、xに関する任意の関数η(x)と、小さな数αで、

Y(x) = y(x) + αη(x)

なる関数を考えます。ここで、僕の持ってる書物には

I(Y) - I(y)

= ∫_(x1)^(x2) {F(x,y+αη,y'+αη') - F(x,y,y')}dx

= α∫_(x1)^(x2) {(∂F/∂y)η + (∂F/∂y')η'}dx

+ ((α^2)/2)∫_(x1)^(x2) {・・・}dx

という記述があったのですが、第２式から第３式へいく時の過程が上手く飲み込めません。一体、式と式の間にどのようなことがあったのか、どなたか教えていただけないでしょうか。お願いします。
まだ大学１年生の未熟者なので、変分問題解決以前の問題なのかも知れませんがorz

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

２変数のテイラー展開が使われています。
f(x+h,y+k)=f(x,y)+(h∂x+k∂y)f(x,y)+(1/2!)(h∂x+k∂y)^2・f(x,y)+...

ここで、h=k=αですかね。（順番合っていたか？）

お礼

返事が送れてしまい、申し訳ございません。
テイラー展開ですか。解析学の本をちょいとだけ進めてみましたら・・・・・ありましたorz
１変数の展開しかみたことがなく、ピピンときませんでした。
アドバイスありがとうございます。

回答No.3

endlessriver

#2＃２です。
ミスりました。h=αη, k=αη' でした。

回答No.1

N64

私にも、分かりません。
オイラー・ラグランジュの方程式を導き出すだけでよいなら、ランダウ＝リフシッツの「力学」を、お読みになると、最初の数ページで、もっと簡単に導いています。

参考URL：

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/search-handle-form/249-4032514-5309129

お礼

返事が遅くなってしまい、申し訳ございません。
方程式を導くまでは色々な道筋がありそうですね。
残念ながら、示していただいた参考URLのリンク先はブラウザが対応していなかったようでして、閲覧できませんでした。今は事情で新しくブラウザのインストールをできない状態でして、もう少ししましたらURLに再度アクセスしてみます。
アドバイスありがとうございます。