汎関数の関数の変分

質問

関数y(x)の汎関数I[y(x)]の関数f(I[y(x)])の変分δfはδxを使ってどのように書かれるのでしょうか？

変分については解析力学で少し勉強した程度なので，質問がまとはずれでしたら申し訳ありません．
汎関数I[y]の変分はδI=I[y+δy]-I[y]だったと思いますが，汎関数の関数の変分がよくわかりません．

よろしくおねがいします．

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

> δxを使ってどのように書かれるのでしょうか？

とのことですから，xは当然何らかの関数なんでしょう（そうでなければ変分を考える意味がないので）．
そこで，以下，x = x(t)とします．
また，質問文にはy(x)という表記が見られるので，
単純に「yは1変数の関数y = y(ξ)で，y(x)はξ = x(t)としたものy(x) = y(x(t))」とみなします．

# 要するにyはラグランジアンみたいに y = y(x,x',t) とかいうややこしい形をしておらず，単なる1変数関数だとみなします．

さらに，

> 汎関数I[y]の変分はδI=I[y+δy]-I[y]だったと思いますが，

そうなんですけど，このままの形だとこれ以上変形できず，「δxで表す」なんて無理ですので，
「δI[y]/δy は関数δyを汎関数δI[y]に写す写像である」
と定義しておきます．

# I[y]の具体的な形が判らないと，このような抽象的な話になってしまいます．

注意してほしいのは「δI[y]/δyはtに依存しない」ということと，
「δI[y] = (δI[y]/δy)(δy) は単なる掛け算じゃなく，『δI[y]/δyという写像がδyという関数に作用している』」ということです．

以上，長い前置きでした．

まずはδI[y]をδxで表しましょう：

δI[y] = (δI[y]/δy) (δy) = (δI[y]/δy)({dy/dx} δx).

したがって，

δf(I[y(x)])
= (df/dI) δI[y]　# これは単なる掛け算
= (df/dI) (δI[y]/δy)({dy/dx} δx).

これ以上は具体的にならないと思います．
よろしければ汎関数I[y]の具体的な形を補足してください．

それとも，もしかして単に
I = ∫y(x(t)) dt　# 不定積分ではなく何らかの区間上の定積分
みたいな形でしょうか．

もしそうなら，普通，Iはxの汎関数とみなし，I[x]と書きます．

この場合だと，

δI[x] = ∫(dy/dx) δx(t) dt

なので，

δf(I[x]) = (df/dI) δI[x] = (df/dI) ∫(dy/dx) δx(t) dt.

お礼

ご回答ありがとうございます．
お礼が遅くなり申し訳ありません．
丁寧な説明でわかりやすかったです．

1つだけ，
>「δI[y]/δy は関数δyを汎関数δI[y]に写す写像である」
>と定義しておきます．
というのは，一般的な定義なのでしょうか？δI[y]=I[y+δy]-I[y]とおなじことを言っているのでしょうか？