数学

質問

教えてください
次の関数の極値を求めよ
f(x,y)=-x^(4)-y^(2)-2x^(2)+4xy+1

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

f(x,y)=-x^4-y^2-2x^2+4xy+1
fx(x,y)=-4x^3-4x+4y
fy(x,y)=-2y+4x
fxx(x,y)=-12x^2-4
fxy(x,y)=4
fyy(x,y)=-2

極値を与える点は
fx(x,y)=-4x^3-4x+4y=0
fy(x,y)=-2y+4x=0
を満たす。これらを連立してx,yについて解くと
x=-1,y=-2
x=0,y=0
x=1,y=2

これらの点において
D=fxx×fyy-fxy^2>0,かつA=fxx>0のとき極小、
D=fxx×fyy-fxy^2>0,かつA=fxx<0のとき極大
D=fxx×fyy-fxy^2<0の時極値ではない。

x=-1,y=-2：D=24x^2-8=16>0, A=-12x^2-4=-16<0 ∴極大
x=0,y=0　：D=24x^2-8=-8 ∴極値ではない
x=1,y=2　: D=24x^2-8=16>0, A=-12x^2-4=-16<0　∴極大
f(-1,-2)=2
f(1,2)=2

答え　f(-1,-2)=2, f(1,2)=2 いずれも極大値

お礼

ありがとうございました