大学初等数学

質問

2x^2-2xy+y^2-1=0をyについて解いて得られる陰関数の極値を求めてください
よろしくお願いいたします

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞y=y(x)と考えて2x^2-2xy+y^2-1=0をxで微分
4x-2y-2xdy/dx+2ydy/dx=0
yの極値ではdy/dx=0だから4x-2y=0、y=2x
元の式に代入して
2x^2-2x(2x)+(2x)^2-1=0、x^2=1/2、x=±1/√2
y=2x=±2/√2=±√2
よって点(1/√2,√2)及び点(-1/√2,-√2)が
yの極大点及び極小点の候補になる。
4x-2y-2xdy/dx+2ydy/dx=0を再度xで微分
4-2dy/dx-2dy/dx-2xd^2y/dx^2+2(dy/dx)^2+2yd^2y/dx^2=0
dy/dx=0のとき4-2xd^2y/dx^2+2yd^2y/dx^2=0
d^2y/dx^2=2/(x-y)
点(1/√2,√2)ではd^2y/dx^2=2/(1/√2-√2)=-2√2＜0だから
y=y(x)のグラフは上に凸。
点(-1/√2,-√2)ではd^2y/dx^2=2/(-1/√2+√2)=2√2＞0だから
y=y(x)のグラフは下に凸。
以上からyの極値は(極大値、極小値)=(√2、-√2)・・・答

回答No.3

info222_

2x^2-2xy+y^2-1=0 …（１）
xの実数条件より　判別式D/4=y^2-2(y^2-1)=2-y^2=-(y-√2)(y+√2)≧0 ∴-√2≦y≦√2

y=(√2)(極大値かつ最大値)のときのxは
　2x^2-2(√2)x+1=0, ((√2)x-1)^2=0, ∴x=(√2)/2
y=(-√2)(極小値かつ最小値)のときのxは
　2x^2+2(√2)x+1=0, ((√2)x+1)^2=0, ∴x=-(√2)/2

回答No.1

spring135

2x^2-2xy+y^2-1=0　　（1）

(y-x)^2+x^2-1=0

y=x±√(1-x^2)

(1)は-1≦x≦1を変域とし、直線y=xと円x^2+y^2=1を合成した楕円である。

この楕円の概形を参照しながら以下の解析を行う。

xで微分して

4x-2y-2xy'+2yy'=0

x≠yのとき

y'=(y-2x)/(y-x)　　（2）

極値はy=2xにおいてとりうる。

（1）に代入して

x=±√2/2, y=±√2(複号同順)　　（3）

（２）より

y''=(y'x-y)/(y-x)^2

(2)を代入して

y''=-(2x^2-2xy+y^2)/(y-x)^3=-1/(y-x)^3 ((1)を代入)

y>xのときy''<0 すなわち(x,y)=(√2/2,√2)においてyは極大、極大値√2、これはyの最大値でもある。

y<xのときy''>0 すなわち(x,y)=(-√2/2,-√2)においてyは極小、極小値-√2、これはyの最小値でもある。

y=xでは（1）よりx=y=±1となり変域の両端を示し、接線がy軸に平行となるがyは極大でも極小でもない。