解析

質問

解き方教えて下さい。
次の関数の極値を求めよ
f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4y

回答No.2

info222_

f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4y
=(x+y/2)^2+(7/4)(y-8/7)^2-16/7≧-16/7
と変形できるから
極大値なし。
極小値は
　y=8/7かつ x+y/2=0すなわち(x,y)=(-4/7, 8/7)のときの
　f(-4/7, 8/7)=-16/7
　である。

[別解1] 偏微分を使う解法は以下の通り。
f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4y
fx=∂f/∂x=2x+y
fy=∂f/∂y=x+4y-4
fxx=∂^2f/∂x^2=2
fxy=∂^2f/∂x∂y=1
fyy=4
停留点（極値を与える点）候補は
fx＝fy=0を満たす点であるから
2x+y=0　かつ　x+4y-4=0
x,yの連立方程式を解いて
(x,y)=(-4/7, 8/7)
停留点はこの点だけ。
この点(-4/7, 8/7)で極値が極大値、極小値、鞍点のいずれをとるか判定しよう。
(x,y)=(-4/7, 8/7)のとき
A=fxx(-4/7, 8/7)=2
B=fxy(-4/7, 8/7)=1
C=fyy(-4/7, 8/7)=4
D＝B^2-AC=1-8=-7
極値の判別法
(停留点が極値をとる十分条件についての詳細は参考URL参照のこと)
を適用すると
A=2>0 かつ D=-7<0であるから
停留点(-4/7, 8/7)でf(x,y)は極小値をとることが判る。
∴極小値 f(-4/7, 8/7)=-16/7

停留点は極小値をとる一点だけなので、極大値をとる点は存在しない。
つまり極大値なし。
（|x|,|y|→∞でf(x,y)→∞となります）

[別解2]
ｆ(x,y)=ｋとおいてx,yの2次方程式の実数条件を求めると
k≧-16/7
（等号は(x,y)=(-4,7, 8/7)のとき成立）
と関数f(x,y)＝kのとりうる範囲がえられます。
f(x,y)はx,yの滑らかな連続関数であることから
kの極大値（最大値）は存在せず、極小値（最小値）=-16/7であることが判る。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html

回答No.1

bran111

f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4y
fx=∂f/∂x, fxy=∂^2f/∂x∂yのように表す。
fx=2x+y
fy=x+4y-4
fxx=2
fxy=1
fyy=4
極値を与える点は
fx＝0, fy=0を満たす。すなわち
2x+y=0
x+4y-4=0
これらを連立して
x=-4/7, y=8/7
極大値を与える点はD＝fxx×fyy-fxy^2>0, かつfxx<0を満たす。
極小値を与える点はD＝fxx×fyy-fxy^2>0, かつfxx＞0を満たす。
fxx=2
fxy=1
fyy=4
より
D=7>0, fxx>0
よって
点(-4/7,8/7)は極大値を与え
極大値＝-16/7