全微と偏微のちがいって

質問

x,yが変数
f＝ax+by
g1＝cx+ef
のとき、
∂g1/∂x＝a
となるのはなぜですか？
∂f/∂xは0じゃないですよね。
理数が得意でない僕にはイミフメです。
全微と偏微の違いが一覧表のHPでもあったら教えてください。
お願いします。

回答No.1

mame594 · ベストアンサー

偏微分∂f/∂xとは　ｆ　をｘで微分するのに，x以外の変数は定数とみなすという事だから，f＝ax+by　でyは定数扱いで，
∂f/∂x=a　となる．　　同様に，∂f/∂ｙ=b　である．　　
g1に関しては，∂g1/∂x=c　　∂g1/∂ｙ=0　　である．

補足

（すみませんcをaに書き間違えました。）
するとですね、f=ax+by,g=cx+efの場合
(1)∂g/∂x=∂(cx+ef)/∂x=c
(2)∂g/∂x=∂(cx+ef)/∂x=∂(cx+eax+eby)/∂x=c+ea
これらはなぜ違うのでしょう。
また、(1)が正しいならば
(3)∂(xf)/∂x=f
はfが何であっても無条件にやってしまって良いのですか？

回答No.4

akn1aj

＞…f＝ax+by, g＝cx+efのとき、…No1,No2では∂g/∂x＝cであるとなってますが…

どうも先入観をもっているようですね。落ち着いてよく考えて下さい。No1,No2ではあなたの訂正・補足前だったのです。もうわかっていると思うのですが、∂g/∂x＝c ではありません！こう書くな、f(x, y), g(x, y)と書け；といっているでしょう？間違うもとです。私もよく見なかった、てっきりg=cx+eyと思ったのです。「fはx,yの関数で、xで偏微分するときxの関数になっているわけです。従って∂f/∂x≠0、今回の場合なら∂f/∂x=a」、これがわかれば氷解するでしょう。後はよく考えて！そして、私のANo.#3を反芻して下さい。…∂g/∂x = ∂(cx+ef)/∂x = c + e∂f/∂x = c + ea (= c + ae )…(2)[∵∂f/∂x =a] で、(2)と一致します。
∂g(x,y)/∂x=∂{cx+ef(x,y)}/∂x=c + e∂f(x,y)/∂x = c + ea …(2)'と書けば、間違わないのです。

お礼

まだ分からないのですが一応閉じます。ありがとうございました。

回答No.3

akn1aj

＞…（すみませんcをaに書き間違えました。）するとですね、f=ax+by,g=cx+efの場合
(1)∂g/∂x=∂(cx+ef)/∂x=c
(2)∂g/∂x=∂(cx+ef)/∂x=∂(cx+eax+eby)/∂x=c+ea
これらはなぜ違うのでしょう。また、(1)が正しいならば
(3)∂(xf)/∂x=f
はfが何であっても無条件にやってしまって良いのですか？

x,yが（独立）変数、f＝ax+by…(4), g＝cx+ef…(5)のとき；なのですね。このように書くからいけないのです！！(4), (5)で独立変数はx,y ですね？絶対にミスをしないほど慣れているならともかく、f(x,y)＝ax+by…(4)', g(x,y)＝cx+ef(x,y)…(5)' と書きましょう！！こう書くことが、間違わないことになるのです。(1)は違います。
∂g/∂x=∂(cx+ef)/∂x=c + e∂f/∂x = c + ea …(2) で、(2)と一致します。
∂g(x,y)/∂x=∂{cx+ef(x,y)}/∂x=c + e∂f(x,y)/∂x = c + ea …(2)'と書けば間違わないのです。
(3)はダメです。∂｛xf(x,y)｝/∂x = f(x,y) + x∂｛f(x,y)｝/∂x …(3)'です。今回の場合は f(x,y) + x∂｛f(x,y)｝/∂x = ax+by +xa = 2ax+by …(3)''です。

補足

f＝ax+by
g＝cx+ef
のとき、

No1,No2では
∂g/∂x＝c
であるとなってますが

No3では
∂g/∂x=∂(cx+ef)/∂x=c
は違うとなってます。

すみませんやっぱり分かりません。

回答No.2

akn1aj

まず
＞…x,yが（独立）変数、f＝ax+by, g1＝cx+efのとき、∂g1/∂x＝aとなるのはなぜですか？∂f/∂xは0じゃないですよね。
何か勘違いしていませんか？∂g1/∂x＝c , ∂f/∂x = a ですよ。

次に
http://www.matsusaka-u.ac.jp/~aihara/pukiwiki2/index.php?%C1%B4%C8%F9%CA%AC
を参照してみて下さい。偏微分・全微分の違いは多変数のとき問題となるわけです。
独立変数がx, y で従属変数がz のとき、つまりz = z(x,y)なら、∂z/∂xはx以外を固定して（つまり変数はx, 他は定数として）zを微分、これがxでの偏微分。∂z/∂yはy以外を固定して（つまり変数はy,他は定数として）zを微分、これがyでの偏微分。x, y 両方それぞれdx, dy動かしたら、全微分：dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy ということ。その幾何学（図形）的意味・イメージはP(x,y,z)での接平面で、dx, dyいったときの高さの増分dzが全微分ということになるわけです。

参考URL：

http://www.matsusaka-u.ac.jp/~aihara/pukiwiki2/index.php?%C1%B4%C8%F9%CA%AC

補足

すみません、Ｎｏ１の補足にまとめて書きました。よろしくお願いします。