極と極線について

質問

こんにちわ。
極と極線についての質問なのですが、
QNo.1203869の方と同じ点で詰まっており、不可解な点があります。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1203869.html

以下引用

>>円 x^2 + y^2 = r^2 の外側にある一点 (x_1, y_1) から
>>その円に引いた接線は二本ある。
>>各々の接点を (a, b), (c, d) としよう。
>>公式によって, これらの接線は
>>ax + by = r^2,
>>cx + dy = r^2
>>である。
>>これらは各々 (x_1, y_1) を通る。
>>従って
>>ax_1 + by_1 = r^2,
>>cx_1 + dy_1 = r^2
>>を満たす。
>>さて, 直線
>>x_1・x + y_1・y = r^2
>>を考えよう。 ここに (a, b), (c, d) を代入すると
>>ax_1 + by_1 = r^2,
>>cx_1 + dy_1 = r^2
>>となって, 上記と同じだから, この等式は満たされる。
>>ということは直線
>>x_1・x + y_1・y = r^2
>>は点 (x_1, y_1) から円 x^2 + y^2 = r^2 に引いた
>>二本の接線の両接点を通っている直線であることが分かった。

この点で、
>>ax_1 + by_1 = r^2,
>>cx_1 + dy_1 = r^2
>>となって, 上記と同じだから, この等式は満たされる。
（略）
>>二本の接線の両接点を通っている直線であることが分かった。

この流れが、分かりません。
x_1・x + y_1・y = r^2に(a,b)を代入して得られるのは、上記にある接線ですよね。
「2点の座標を代入して、接線が得られる→二点の交点を結ぶ直線である」
どうしてこうなるのでしょうか・・・？
よろしくお願い致します。

回答No.5

take_5 · ベストアンサー

まとめておく。

円： x^2 + y^2 ＝ r^2 の外側にある一点を Ｐ(a、b) とする。
この円周上の点Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）における、各々の接線は、x*x1 + y*y1 ＝ r^2、x*x2 + y *y2＝ r^2　‥‥(1)である。
この2つの接線が、点を Ｐ(a、b)を通るから、(1)の2つの接線は、a*x1 + b*y1 ＝ r^2、a*x2 + b*y2 ＝ r^2　‥‥(2)を満たす。
従って、2点ＡとＢは共に、直線：a*x + b*y ＝ r^2　上にある事を示している。
つまり、2点Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）を通る直線は　a*x + b*y ＝ r^2　である。

この極と極線は、円だけではなく、楕円・放物線・双曲線にもいえる。
その式は、各々の曲線の接線と似た式になるので、混乱しやすい。

最初は、狐につままれたような気持ちになるだろうが、ゆっくり考えたら良いだろう。

お礼

ありがとうございます。
ちょっと混乱気味ですのでゆっくり考えて見ます。

どうもありがとうございました

回答No.4

take_5

点Ａ（x1、y1）を通る直線が、直線：a*x + b*y ＝ r^2。
点Ｂ（x2、y2）を通る直線が　同じ直線　a*x + b*y ＝ r^2。
と、するなら2点Ａ、Ｂは共に　直線：a*x + b*y ＝ r^2　上にある。
つまり、2点Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）は　直線：　a*x + b*y ＝ r^2　にである。それだけだよ。

回答No.3

take_5

又、間違った。

＞従って、(2)はＰ(a、b)が　直線：a*x + b*y ＝ r^2　上にある事を示している。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　　

従って、(2)は2点Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）を通る直線が　a*x + b*y ＝ r^2　である事を示している。

お礼

ありがとうございます。
私の説明が下手で申し訳ないです・・・

「Pを通る、AとBを接点とする2本の接線」
と
「式：a*x+b*y=r~2　にA(a,b) B(c,d)代入すると、それぞれ↑と一致すること」が
何故、AとBを通る直線になると言えるのか分からないのです・・・

「a*x+b*y=r~2」は直線の式ですよね。
コレにAとBを代入したものが、それぞれ接線の式と一致するとしたら、「a*x+b*y=r~2」にA(a,b)を代入したとき、接線を表す式になってしまいますよね・・・？（ABを通る直線の式のはずなのに・・）

そこが分かりません。

頭が悪くて申し訳ないです(>_<、

回答No.2

take_5

ちょっと訂正。。。。。。。笑

＞従って、(2)は直線：a*x + b*y ＝ r^2　上にある事を示している。

　　　　　　　　　　　　　　　↓

従って、(2)はＰ(a、b)が　直線：a*x + b*y ＝ r^2　上にある事を示している。

回答No.1

take_5

簡単なことだよ。

円 x^2 + y^2 = r^2 の外側にある一点を Ｐ(a、b) とする。
この円周上の点Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）における、各々の接線は、x*x1 + y*y1 ＝ r^2、x*x2 + y *y2＝ r^2　‥‥(1)である。
この2つの接線が、点を Ｐ(a、b)を通るから、(1)の2つの接線は、a*x1 + b*y1 ＝ r^2、a*x2 + b*y2 ＝ r^2　‥‥(2)を満たす。
従って、(2)は直線：a*x + b*y ＝ r^2　上にある事を示している。

極と極線は比較的popularなので覚えておいた方が良い。
その式は、接線の式に似ている。