2本の接点を通る直線(極と極線)

質問

こんにちは。よろしくお願いします。類題の過去の質問http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1203869.htmlを読んたのですが、理解力たらず良く分からなかったので質問させていただきました。

[1]極と極線に関する問題(らしい, 過去ログより)
[問題]
出題はサクシードII＋Ｂ第3章20課B問題353からです。
点(7,1)から円x^2+y^2=25に引いた2本の接線の接点をA, Bとするとき、2点A, Bを通る直線の方程式を求めよ。
[解答]
(別解)
A(x1, y1), B(x2, y2) とすると、A, Bにおける接線の方程式はそれぞれ
　x1x + y1y = 25
　x2x + y2y =25
これらが共に点(7, 1)を通るから
　7x1 + y1 = 25…(1)
　7x2 + y2 = 25…(2)
(1), (2)から2点A, Bは直線7x+y=25上にある。
よって、2点A, Bを通る直線の方程式は
　7x + y = 25

[???]
最後の部分です。
　7x1+y1=25…(1)
　7x2+y2=25…(2)
が、7x+y=25 の形になっているのは分かるのですが、これで2点を通る直線と呼べるのか…？という疑問です。
どうにもハッキリと理解できません。自分を丸め込む説明も思いつきません。
うまく説明できる方、ご指南ください。

通常のやり方よりも魔法のように早く解けてしまうので、この解法・考え方を身につけたいです。できるだけ分解して教えていただけたら幸いです。

[2]
本当に些細な質問で別の質問を立てるまでもないと思ったので、ついでとして答えていただけると幸いです。

点(2, 1)を通る傾きmの直線と直線y=3x+kが共有点をもつとき、定数kの値を求めよ。また、接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ

という問題について、「点(2, 1)を通る傾きmの直線」が y=m(x-2)+1となっているのですが、どうすればこうなるのでしょうか…。
普段はy=ax+bやax+by+c=0から適当に代入すれば良いと考えていたので、どうにも分かりません。

教えていただければ幸いです。
失礼します。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

これは＜共線＞とよばれます。＜共線＞は普通は、３点を通る場合に使用されるので、
今回のように、２点の場合には、検索しても上手く出ません。ある意味で、とても綺麗かつＳＩＭＰＬＥなため著名ですが、不思議にも最近はテキストの記載は目にしません。
かく言う私も、何故この式が成立するのか当時テキストを読んでも、理解するまで、時間がかかりました。

多分＜定数と変数＞が入れ替わるので不思議さが消えないのが原因と思われます。
解説の通りで判ってしまえば、なあーんだ・・・。

>> 7x1+y1=25…(1)
>>　7x2+y2=25…(2)

先に書いた様に、A(x1, y1), B(x2, y2) は、
定点（定数）の　＜意識が強く＞　視点を変える必要が生じます。

　　裏から書くと、(1)(2)は、
直線　7x+y=25　が存在して、
かつ、A(x1, y1), B(x2, y2)　を通る。
＜２点を通る直線は、唯一つであるから＞
A(x1, y1), B(x2, y2)を通る直線は、
7x+y=25　でしかありえない。

と言う感じですが、あまり論理的ではないので、テキストも＜説明に窮している＞と思えます。論理的に書こうとすればするほど、（判り難くなる）という、皮肉な内容となっています。

　　正攻法で書くならば、
>> 7x1+y1=25…(1)
>>　7x2+y2=25…(2)　
(1)(2)は、A(x1, y1), B(x2, y2)が、同一の直線　７ｘ＋ｙ＝２５　上に　ある事を意味しているので、逆に、A(x1, y1), B(x2, y2)を通る直線は、７ｘ＋ｙ＝２５　となる。

この論法は、どこにでも出てきそうなのですが、滅多に遭遇しないようです。

問題の根底には、ユークリッド幾何の公理のひとつ、
２点を通る直線は唯一つである。
書き換えると、２点がＧＩＶＥＮのとき、直線は決定する。

と・・・。

[2]

(1) >>y=m(x-2)+1。
(2) >>y=ax+bやax+by+c=0

(2)でＯＫです。
ただ、(2)は中学校の方法であり、多少時間もかかるので、
高校の教科書、数学IIの中に公式として、
点（a,b)を通り、傾きmの直線は、y-b=m(x-a) と記載されています。

>>直線y=3x+kが共有点を・・・は、２次関数の記述が脱落しているようで、回答ができなくなっています。

お礼

早速の回答をどうもありがとうございます。
>裏から書くと、(1)(2)は、
の部分，非常に分かりやすかったです。
納得しました!!どうもありがとうございました。

回答No.3

debut

[1]
(2)から(1)を引けば
7(x2-x1)+(y2-y1)=0
ちょいと変形すれば、(y2-y1)/(x2-x1)=-7
これは２点Ａ，Ｂを通る直線の傾き。
よって、２点Ａ，Ｂを通る直線は公式から、
（点(x1,y1)を通り、傾きが－７なので）
y-y1=-7(x-x1)
y-y1=-7x+7x1
7x+y=7x1+y1
7x+y=25
ではどうでしょうか？

[2]
「点(2, 1)を通る傾きmの直線」は、上でも使いましたが、
直線上のある点(x,y)をとれば、傾きｍは座標から
(y-1)/(x-2)となります。
つまり、(y-1)/(x-2)＝ｍ。
両辺に(x-2)をかけて-1を移項すれば、
ｙ＝ｍ(ｘ－２)＋１　です。

回答No.2

broad-grin

スミマセン、[２]の最後が
ｙ＝ｍ(ｘ－２)＋１
となるところが、
ｙ＝ｍ(ｘ－２ｍ)＋１
と打ち間違えてしまいました；

回答No.1

broad-grin

[１]
ｘ1とｙ1、７ｘ2とｙ2は(最終的に７ｘ＋ｙ＝２５という)関係を持っている数字なので、その関係を持っている数字ならどの数字をあてはめても答えは同じになる。
だから７ｘ＋ｙ＝２５となる。
…のではないでしょうか；説明になってない気がしますが；スミマセン。
[２]
「傾きｍの直線」より、
ｙ＝ｍｘ…(1)
この直線は「点(２,１)を通る」ことよりコレを代入して、
１＝２ｍ⇒１－２ｍ＝０
コレを(1)の式に入れると、
ｙ＝ｍｘ＋(１－２ｍ)　※１－２ｍは＝０なので、代入しても差し支えがない※
　＝ｍｘ－２ｍ＋１
　＝ｍ(ｘ－２ｍ)＋１