線対称な直線の問題

質問

直線ｆ（ｘ、ｙ）＝0に対して以下の点、または直線に関する対称な直線の方程式を求めよ
（1）点（α、β）に関して
（2）直線ｙ＝ｘに関して
（3）直線ｙ＝aｘ+ｂに関して

思いついた問題を自分でといてるんですが中々解けません。（というか適当に思いついただけなので答えが存在するかどうかすら確実ではありません）

たとえばｘ軸に関してｆ（ｘ、ｙ）＝0と対称な直線はｆ（ｘ、-ｙ）＝0ですよね？これと同様にやっぱりこういったものには規則性があると思って考えてるんですが・・・。

もしご存知のかたが居られましたらご教授いただきたいです
よろしくおねがいいたします

回答No.3

y_akkie · ベストアンサー

（1）点（α、β）に関して
まず、f(x,y)、点(α、β）をそれぞれ、x軸の負の方向にα、ｙ軸の負の方向にβだけ平行移動させた直線がf(x-α,y-β)となり、(0,0)になります。
そして、この時対称移動をf(x-α,y-β）を原点(0,0)に関して対称移動をさせれば、f(-x-α,-y-β)=0となります。あとは、この直線をx軸の正の方向にα、ｙ軸のβの正の方向にβだけ移動させれば、f(2α-x,2β-y)=0となり、これが求めるべき直線となります。

（3）直線ｙ＝aｘ+ｂに関して
#2さんが回答された方法を用いれば求まると思います。
すると、（2）直線ｙ＝ｘに関してもa=1,b=0とすれば求まるはずです。

回答No.2

larme001

直線に関する対称の問題は、回転行列を使って解くか、対称であるこを素直に条件式をたてて解くかがもっともオーソドックスでしょう。
回転行列の方法は図を書いて説明しないと難しい（というか少し自分の記憶が曖昧というのもあるので）、ここでは対称条件で解くことを説明しましょう。
いろいろな方法で式を立てる方法があるでしょうが、闇雲にやると計算がめんどくさくなります。一番無難なのは、まず、点(α、β）が直線
f(x)=ax+bによって対称移動した点を（α',β')としましょう。すると、
1.二点の中点がf(x)上の点であること、
2,二点を結ぶ直線がf(x)と垂直
つまり、
1, a{(α+α’)/2}+b=(β＋β’)/2
2,(β’ーβ)/(α’-α)=-1/a

これらの連立方程式を解いて、(α’、β’）を（α、β）で表します。

仮に、（α、β）がf(α、β）=0で与えられるような数の場合、(α、β）を(α’、β’）で表し、代入することで、f(x)により対称移動される曲線が求められます。

初めは計算が少し煩雑ですので難しく感じますが、受験では結構標準てきな問題ですので、何度かやって慣れておくと良いでしょう。

回答No.1

lick6

直線は点の集まりなので直線が移動するというよりは、直線上の点一つ一つが移動するというふうに考えると解りやすいかもしれません。

点を点に関して対称移動するとき、移動前と移動後の点の中点が対称移動の中心となる点ですので、前の点(x,y)後の点(X,Y)とすると
α = (x + X)/2 ⇔ x = 2α - X
β = (y + Y)/2 ⇔ y = 2β - Y
これと f(x,y) = 0 で X,Y の式が出せるはずです。

点を直線に関して対称移動すると、移動前と移動後の点の中点は対称移動の中心となる直線上にあります。
さらにその直線と移動前後の点を結んだ直線は直行します。
これをヒントにすれば解けると思います。