図形と方程式 ２直線の関係より

質問

わからないところがあります

直線ax+by+c＝0　に平行・垂直な直線について

「1]　平行な直線の方程式はa(x-x₁）+b（y-y₁）=0
[2]　垂直な直線の方程式はb(x-x₁）-a(y-y₁）＝０

の証明として
ab≠0のとき直線ax+by+c=0の傾きは-a/bであるから
平行な直線　y-y₁＝-a/b(x-x₁）より
a(x-x₁）+b(y-y₁）=0

垂直な直線y-y₁＝b/a(x-x₁）より
b(x-x₁）-a(y-y₁）=0

ab=0（ただし、a=b=0は除く)のときも上の式は成り立つ。終
なのですがいくつか疑問なところがあります
よろしくお願いいたします。

(1)　証明のはじめとしてab≠0のときという条件があるのですがこの意味がよくわかりません…
(2)　垂直な直線の証明のはじめの式の傾きについて。どうしてb/aになるのかがわかりません。
(3)　最後のまとめのab=0（ただし、a=b=0は除く)のときも上の式は成り立つ　はなぜ成り立つのか
　　 はじめにab≠0のときという条件をたてたのになぜ最後にこのようなことをいうことができるのか

というところです。

よろしくお願いいたします。

回答No.5

MarcoRossiItaly

基本問題なので、教科書を何度も見直してください。過去に習った知識もきっと出てきているのでしょう。

(1)
「この問題に限らず」、「ab≠0」という条件は、「a≠0 かつ b≠0」という条件と、いつでも同値です。つまり、「a≠0 かつ b≠0」とイチイチ長いのを書くのが嫌だったら、いつでも「ab≠0」と書いて構いません。極めて大事な基本なので、覚えてください。

そうなる理由の説明は不要かと思います。a か b のどちらか一つでも 0 だとしたら、必ず「ab = 0」になってしまいますね？

また、「pqrs = 0」だったら、「p = 0 または q = 0 または r = 0 または s = 0」と書いても同じです。

-a/b とか b/a という割り算をして話を進める都合上、「ab≠0」を設定する必要があったというだけのことです。こんな条件は設定せず ab = 0 も含めて証明したいのですが、いきなりそれはできないので、順を追って話を進めているだけです。だから(3)に至って、残された ab = 0 の場合も検討しているわけです。

(2)
垂直な直線の傾きが b/a になる理由ですが、様々な説明があり得ると思います。図形とか、ベクトルとか。片方の直線の傾きが「2」なら、他方の傾きは「-1/2」。方眼紙に、これらの直線を描いてみてはどうですか？何か気付くかもしれませんよ。

「2×(-1/2) = -1」となりますね。「-a/b×b/a = -1」でもあります。「直交する2直線の傾きどうしを掛けると -1 になる」という性質は、必ず覚えておかなければならない事項です。

(3)
(1)で言ったとおり、ab = 0 のケースをわざと残して話を進めてきたので、最後に ab = 0 のときにどうなるかも確かめないと、証明が完結しません。

証明が難しいと思うのは、a とか b とか、文字が使われているからですね。傾きが「2」と「-1/2」みたいに具体的な値だったら、難しく感じないでしょう。例えば直交するかどうか調べたければ、掛け算すればいいだけですから、証明も一瞬で終わりますよね。

けれど、ab = 0 の場合を調べるということは、上でも言ってきたとおり a = 0 または b = 0 と言ってるのと同じなんだから、ほら、具体的な値じゃないですか。

仮に a = 0 だとしたら、元の直線と平行、垂直な直線、それら3本の式はどうなるのですか？式が分かったら、それらは平行ですか、垂直ですか？ b = 0 の場合は？

分母にゼロを持ってくることは考えてはいけませんよ。そんな変形はせずに、あくまで今言ったとおり、3本の式が何になるかを考えて。

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

回答No.4

bgm38489

ab≠0とするのは、-a/b,b/aという傾きを持ち出すとき、a,bどちらかが０であったら、分母に０が来ることとなるため、おかしくなる。故に、まずは両方とも０でない場合について検討して、どちらかが０出会った時も、これは成り立つ、と後から検証しているわけです。これが、(１)、(３)の答え。

(２)は、例えば、y=xのグラフを考えましょう。これに垂直なグラフは、ｙ＝-xのグラフとなります。
y=2xのグラフの場合、これに垂直なグラフは、マイナスをつけることは同じですが、傾きは、ｘ＝－２ｙのグラフと同じになりますね。想像してみてください。x軸との角度が、ｙ軸との角度と等しいことを。故に、y=-(1/2)x。
すなわち、傾きは２の逆数にマイナス付けたもの、-1/2となるのです。

ここまでくると、傾き-a/bの直線の、垂線の傾きはb/aってことは、分かりますね？

教科書・参考書を読み返せば、ちゃんとした名前がついているのでは？名前がついていなくとも、垂線の傾きは、逆数のマイナス１倍であるから、と断れば通るという、常識ともいえるのでしょう。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

Dracky376B

(1)については、証明の途中で-ｂ/ａ、ａ/ｂが出てくる為、ａ＝０、またはｂ＝０だと困る（分数として表せない）から一旦除外しているだけです。
その為、後でａ＝0、ｂ＝0 の場合についても証明する必要があります。

(2)については、2直線の傾きをｍ,ｎとした時に、垂直に交わる条件が、ｍ・ｎ＝-1 だからです。
（-ａ/ｂ）・ｎ＝-1 より、ｎ＝ｂ/ａ

これについての証明は、参考ＵＲＬを参照してください。

(3)については、以下の通りとなります。
・ａ＝０の時、元の直線は ｙ＝-ｃ/ｂ（ｘ軸に平行な直線）
[1]にａ＝０を代入してｙについて解くと、ｙ＝ｙ₁（ｘ軸に平行な直線）
[2]にａ＝０を代入してｘについて解くと、ｘ＝ｘ₁（ｙ軸に平行な直線）
よって、ａ＝０の時についても成りたちます。

・ｂ＝０についても、同様にして成り立ちます。

したがって、「ab=0（ただし、a=b=0は除く)のときも上の式は成り立つ」と言えます。

自明なので、省略しただけでしょう。

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/zutohouteisiki/suityokuni-majiwaru-jyouken.html

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

(1)
ab≠ 0ということは、「a, bはともに 0ではない」ことになります。
傾きの計算をする際に、両辺を aで割る。両辺を bで割る。という操作が出てきます。
「0で割る」ことはできないので、そうならない場合を考えていることになります。

(2)
直交する 2直線の傾きについて、
m1* m2＝ -1という関係があることは覚えていませんか？

上の公式を覚えていないのであれば、
(傾き：m1)＝ (yの変化量)÷(xの変化量)に対して、
直交する直線の傾きは (傾き：m2)＝ -(m1の xの変化量)÷(m1の yの変化量)となります。
図を描いてみると、よくわかると思います。

(3)
ab＝ 0は、もとの直線：ax+ by+ c＝ 0が x軸に平行 or y軸に平行となるときを表しています。
y軸に平行となる直線は、その傾きを -a/bや b/aという形で表すことができません。
また、もとの直線が x軸に平行な場合には、直交する直線が y軸に平行となります。
つまり、どちらかの直線が「y軸に平行となる」場合になっています。

あくまでも (1)は「傾きを与えることのできる場合」を考えているので、
別に場合分けして考える必要があります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

suko22

(1)まず最初に直線の話をしているので、a=0かつb=0は除外です。

途中証明していく過程でわかりますが、
たとえば、
＞ab≠0のとき直線ax+by+c=0の傾きは-a/bであるから
ここはｂ≠0でないといけません。ｂ＝0だと0で割ることになるので。

他の箇所でも、
＞垂直な直線y-y₁＝b/a(x-x₁）より
ここはa≠0でないといけません。

このような諸事情から、
a≠0、ｂ＝0とa＝0、ｂ≠0は除外して考えたほうが上記であらわしたように、ゼロで割ることを除外できるので、これを合わせて、ab≠0と表現し、このときにはまずは除いて証明します、ということです。

(2)垂直条件です。mm'=-1。
　もとの直線の傾きが-a/bだから、それに垂直な直線の傾きをｍとすると、
　(-a/b)*m=-1より、m=b/a

(3)ab≠0（a≠0、ｂ＝0とa＝0、ｂ≠0）のときも証明した式が成り立てば、a、ｂの制約なし（繰り返しますがa＝b＝0は式が直線にならないのではじめから除外することにしています）に公式として使えるという意味で成り立つかを確認しています。
例えば、
＞ab≠0のとき直線ax+by+c=0の傾きは-a/bであるから
＞平行な直線　y-y₁＝-a/b(x-x₁）より
＞a(x-x₁）+b(y-y₁）=0

この最終結果にa=0、ｂ≠0のときも成り立つかを実際に値を入れて確認します。
b(y-y1)=0
y=y1（ｘ軸に平行な直線）

元の式がby+c=0より、y=-c/b（ｘ軸に平行な直線）
このようにa=0、ｂ≠0でも成り立つことがわかります。

＞垂直な直線y-y₁＝b/a(x-x₁）より
＞b(x-x₁）-a(y-y₁）=0
a＝0、ｂ≠0のとき、b(x-x1)=0よりx=x1(ｙ軸に平行な直線）
もとの式がy=-c/bになるから、垂直になる。

a≠0、ｂ＝0のときも同じように確かめることができます。

途中の式の証明にはa=0、ｂ≠0　or　a≠0、ｂ＝0（ab≠0）の条件を課したほうが証明しやすいのでそう決めて証明しました。最後に除外したab≠0でも証明した式が成り立つのかは実際に上のようにして確認します。

お礼

ありがとうございます。