図形と式の範囲の問題です。

質問

（１）３直線　２ｘ－３ｙ－７＝０，３ｘ＋２ｙ＋ｋ－１＝０，５ｘ＋４ｙ＋ｋ＝０が１点で交わる定数ｋの値を求めよ。

（２）２直線ｘ＋ｍｙ＋ｍ－３＝０，ｍｘ＋（ｍ＋２）ｙ－２＝０が平行となるように定数ｍの値を求めよ。

（３）平行な２直線、３ｘ＋４ｙ＋５＝０，３ｘ＋４ｙ－６＝０に垂直に交わる直線がこの平行な２直線によって切り取られる線分の長さを求めよ。

（４）Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）を頂点とする△ＡＢＣの辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢをｍ：ｎに内分する点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとするとき、△ＡＢＣと△ＰＱＲの重心は一致することを証明せよ。
ｍ＞０、ｎ＞０とする。

この４問なのですが、「平行条件：　ｍ＝ｍ’」，「垂直条件：ｍｍ’＝－１」や２直線を通る直線の方程式の公式を使うのかな・・・？　とか思って考えてますが、いまいちこの直線に対する考え方の方針がみえません。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

素直に(素朴に)やる場合の方針のアドバイス
(1)ｋを定数として，後ろの２本の直線の式を連立して交点を求める（ｋの式）．
次に，第１式に代入して，ｋの方程式を解く．

(2)2直線，ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0 (a,b,c,a',b',c'は定数)の平行条件は
"ab'－ba'＝０"　("たすきがけ"の形)

(3)平行な２直線の間の距離は垂直に測る限り，どこでも一定なので，両者に垂直な適当な直線，例えば 4x－3y＝０　とそれぞれとの交点を求めて距離を出す．
ただし，2直線，ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0 (a,b,c,a',b',c'は定数)の垂直条件は "aa'＋bb'＝０"　(係数のベクトルの"内積０"の形)
を用いた．[ベクトル（a,b）に垂直なベクトルの例は（b,-a）]
[別解]点と直線の距離の公式を知っていれば，片方の直線上の適当な１点と他方の直線との距離を求めれば良い．（平行なのでどこでも一定だから．）

(4)内分点の公式と重心の公式を利用して，実際に求めてみる．

補足

早速のご回答ありがとうございます。参考にしつつ、取り組んでみます。