2本の直線の方程式がわかっていれば、それらに接する２次関数の方程式もわ

質問

2本の直線の方程式がわかっていれば、それらに接する２次関数の方程式もわかりますか？

たとえばy=x,y=-xの２直線にそれぞれ接する２次関数って一つに定まりますでしょうか？
求める２次関数をy=ax^2+bx+cxとおいて・・・とやると、文字が３つあるのに２式しか定まらないように思えるのですが・・・

どなたかご回答をお願いします！

回答No.1

kagakusuki · ベストアンサー

>２直線にそれぞれ接する２次関数って一つに定まりますでしょうか？

　定まりません。
　イメージしやすくするために、先ずは円の場合を考えてみます。
　今仮に、y=x,y=-xの２直線にそれぞれ接している、半径rの円の中心が[0,h]だとします。
　しかし、中心が[0,-h]にある半径rの円や、中心が[0,h/2]にある半径r/2の円も、y=x,y=-xの２直線にそれぞれ接します。
　この様に、２直線に接する曲線が１つでも存在する場合、２直線の交点を基準とする、点対称の曲線や、相同の関係にある曲線もまた２直線に接します。
　これは、２次曲線であるか否かには関係無く成り立ちますから、y=x,y=-xの２直線にそれぞれ接する２次曲線は無数に存在します。

補足

なるほど、ありがとうございます。

それでは何本の直線があればそれに接する２次関数が一意にきまるのでしょうか？

回答No.2

alice_44

y = ax↑2 + bx + c に x = p で接する接線は、
y = (2ap+b)(x - p) + (ap↑2+bp+c) です。
これが、与えられた直線 y = Ax + B に一致する
ための必要十分条件は、p,a,b,c の連立方程式
2ap + b = A かつ
(2ap + b)(-p) + (ap↑2 + bp + c) = B
と書けます。

二次関数が、この直線に接する必要十分条件は、
これを満たす p が存在すること、すなわち、
連立方程式から p を消去した a,b,c の
方程式に解があることです。

a,b,c については、一次方程式になっています。
…ということは、何連立すれば a,b,c が確定
するか、解りますね？