関数

質問

座標平面上に2点A(1,5),B(4,2)を両端とする線分ABがある。直線y=ax＋1が線分ABと交わるとき、aのとりうる値の範囲を不等号を使って表す問題で
A(1,5)よりy=ax＋1にx=1,y=5を代入すると、a=4

B(4,2)より
x=4,y=2を代入するとa=(1/4)になりますが
どのように不等式で表すかわかりません。
御願いします

回答No.4

oyaoya65

#1です。
まず、グラフx=-1～7,y=-1～7位のx軸とy軸のxy座標軸を少し大きめに描いてみてください。

次に線分ABを描いてください。

更に、直線y=ax＋1を描きます。
この直線は点C(0,1)を通りますのでこの点を通る傾斜aの直線になりますね。

鉛筆を直線とみなして
点C(0,1)を中心に鉛筆を時計回りに一回転してみてください。この鉛筆の動きが
傾斜aを変えたときの
直線y=ax＋1の動きなのです。
水平のときがa=0のときです。（傾斜がゼロ）
垂直の時の傾斜aは無限大ですね。(傾斜が９０°)

鉛筆を水平から時計の針と逆方向に垂直になるまで回転させていくと
傾斜を表すaの値は0から無限大まで変化することはわかりますか。

この鉛筆が水平から徐々に傾斜aを増加させていくと線分ABの端のB点を通るところまで到達します。
そのときの直線が
y=(1/4)x＋1
で、このときの傾斜aが1/4ですね。

さらに傾斜を大きくして鉛筆を垂直に向かって回転していくとしばらくは鉛筆と線分は交わりますね。
交点は、鉛筆を回転させていくとB点からA点に移動して行きますね。そのとき直線の傾斜aは1/4から増加して行きますね。

そのうち、鉛筆はA点を通る位置まで着ます。
A点を通るときの鉛筆の直線は
ｙ＝４ｘ＋1
となっていて、傾斜a=4となっています。

更に鉛筆を回転させて傾斜aを増やしていっても、もう鉛筆は線分ABと交わらなくなりますね。
そしてついには鉛筆は垂直（y軸に一致）して傾斜は無限大になります。

＞ｙ＝４ｘ＋1
＞と
＞y=(1/4)＋1の図を描いたのですがよくわかりませんでした。

さて、鉛筆を水平から垂直になるまで傾斜aをゼロから増やしていった時、点C(0,1)を中心に回転していく鉛筆の直線がどの傾斜aで点Bをとおり、更に傾斜aを増していった時線分ABと交点が点Bから点Aに向かって移動して行きましたね。
点Aのところまで鉛筆の傾斜を増加したときの傾斜aの値はどれだけでしたか？
鉛筆が点Aを通るときの直線の式は
y=4x+1
ですね。
そうです。傾斜はa=4ですね。

更に傾斜aをまして鉛筆の直線の傾斜を増やしてもa=4を超えた傾斜aでは鉛筆の直線は線分から離れていくばかりで交点を持ちませんね。

最初に交点を持ったのが点Bを通るa=1/4のときですね。
そこからaを増加していき、点Aを通るときA=4になり、aが4を超えると交点は持たなくなります。

このことから、点C(0,1)を通る直線が線分ABと交点をもつのは

1/4≦ａ≦４

ということにならないでしょうか？

回答No.3

debut

No2です。

＞最初に線分ABを書くのでしょうか？
＞そうだとすれば(1,5)と(4,2)をつないだのが線分ABですか？
＞直線y=ax＋1
＞が切片が1、傾きがaであることに注意するのでしょうか？

はい、すべてその通りです。

直線ｙ＝ａｘ＋１は、必ずｙ軸上の点（０，１）を通るから、（０，１）
と点Ａを通る直線、および（０，１）とＢを通る直線、の２本の直線を
引いてみてください。
次に、（０，１）を通りながら、線分ＡＢと交わるような直線を２本ぐら
い引いてみてください。
すると、Ａを通る直線から順に直線の傾斜がだんだんとなだらかになって
いき、Ｂを通る直線のときが一番なだらかになる様子が見てとれるのでは
ないかと思います。

で、この問題は、その直線の傾きａのとりうる値の範囲をきいているのだか
ら、今引いてみた直線の傾きが一番小さくていくらで、そこからだんだん
と大きくなっていき、一番大きくていくらまでになることができるか？と
いうことになるわけで、結局答えればいいのは、
　　　　　一番小さな傾き≦ａ≦一番大きな傾き
つまり、ｙ＝ａｘ＋１がＢを通るときの傾き≦ａ≦Ａを通るときの傾き
ということになるのです。

わかったでしょうか？

回答No.2

debut

直線ｙ＝ａｘ＋１を線分ＡＢと交わるように引くとすれば、それこそ無数
に引くことができますよね。
この問題は、その無数に引ける直線で、傾き（直線の傾斜の具合）は、ど
こからどこまでの値になることができるかをきいているわけです。
だから、傾斜が一番なだらかなとき（ａの値が一番小さいとき）と傾斜が
一番急なとき（ａの値が一番大きいとき）の間にあると答えればいいこと
になります。

ということで、
　ａが一番小さいのは1/4で、一番大きいのは４だから、傾きａの値は
　1/4と４の間ならいいということになり、
　　　1/4≦ａ≦４　と表せます。

どうでしょうか？

補足

解説ありがとうございます
最初に線分ABを書くのでしょうか？
そうだとすれば(1,5)と(4,2)をつないだのが線分ABですか？
直線y=ax＋1
が切片が1、傾きがaであることに注意するのでしょうか？
点(0,1)が怪しいですね
でもまだよくわかりません。
御願いします

回答No.1

oyaoya65

グラフを描いて問題を解いてください。
直線y=ax＋1
はｙ切片1,傾斜（勾配）がaということを考えて、線分ABと交わる直線の傾斜の範囲を求めればいいですね。

そうすると傾斜の範囲が
1/4≦a≦4
であれば交わることが分かるかと思いますが、いかがですか？

補足

ｙ＝４ｘ＋1
と
y=(1/4)＋1の図を描いたのですがよくわかりませんでした。