解と係数の関係と判別式（大学受験）

質問

大学受験問題集の青チャートを解いています。そこで、一つ疑問があったので、質問させていただきたいと思います。

問題は、
方程式x^2-2qx+q=0の2つの解、α、βが0<α<2, 0<β<2であるための定数qの値の範囲を求めよ。です。

解答は、1<＝q<4/3となっています。

私の疑問は、この解答にどうして、＝がつくのか、ということです。
問題には、2つの解と書いてあるのですから、判別式をDとすると、D>0となると思うのです。
しかし、解答は、D>=0となっているのです。

青チャートが間違っているとは思えないのですが、どうして、ここに=が入るのか納得がいかないのです。それとも、問題文中に明記されていないが、これは、重解を含む、ということなのでしょうか。

どなたか御分かりであれば、教えていただけないでしょうか。宜しくお願いいたします。

回答No.4

noname#24477 · ベストアンサー

>問題文中に明記されていないが、これは、重解を含む、ということなのでしょうか。

そうです。
問題文中に「異なる」と書いてなければ重解でもよい、
と考えます。
逆に、解の判別の問題では、Ｄ＞０の場合は必ず
「異なる２つの実数解」のように答えてください。

一般に２次方程式は必ず２つの解を持つものであり、重解は
たまたまその２つが重なったものであると考えます。

例えば
(x-1)^2＝０　の解は
ｘ＝１と書きますが、

場合によっては、わざわざ
Ｘ＝１，１　
のように同じ数を２回書いたり
ｘ＝１（重解）
のように書くこともあります。

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございました。

やはり、「異なる」と書いていないから、ということですね。私は、もしかしたら、自分の気づいていない判別式以外のところで間違っているのかもしれない、と思っていました。

これからは、細かい部分にも留意して回答するよう、心がけます。ご丁寧なご回答をいただき、ありがとうございました。

回答No.3

wondercraw

この問題であれば
単純に　判別式だけの話ではないはずですが。。。

もう少し詳しく解を読まれてはいかが？
　解は判別式だけの話で終わっていますか？

補足

さっそくご回答いただき、ありがとうございます。

おっしゃるように、もちろん判別式だけの話ではありません。解答は、判別式を含め、三段階から成っています。そして、その三つの解の共通範囲として、1<＝q<4/3が解答とされており、今回の私の疑問点である、＝に関しては、三段階の一つである、判別式より、出ています。ですので、今回は、他の二段階は省略させていただきました。

回答No.2

arukamun

２つの解、α、βが０＜α＜２、０＜β＜２
と書いてあるからといって、
異なる２つの解、α、βが０＜α＜２、０＜β＜２
や
２つの解、α、βが０＜α＜２、０＜β＜２、α≠β
と書いて無いので、
重解も含んでいると判断出来ます。

お礼

さっそく、ご回答いただきありがとうございました。

問題文を読み足りなかったということですね。なかなか難しいですね。数学といいながら、国語も兼ねているようです。

これからは、気をつけて、回答するよう心がけます。ありがとうございました。

回答No.1

daisangenn

ちょっと愚問かもしれませんね。

重解とは、同じ解が二つある状態のことをさすと解答者は考えたのでしょう。だから「重」解という言葉が使われているのかな？

僕も数年前に大学受験をしましたが、問題文に「異なる」2つの解とか、重解を含むとかいう言葉が問題文中にあった記憶があります。

というわけで、きっと実際の入試や模試では上に挙げたような言葉がきっと書かれています。なかったら、解答用紙に「異なる」2つの解として考えるととでも書いて解答すればいいのでは？？自信はありませんが。

というわけで、goodoさんのような疑問が生じるのは当然であり、問題が悪いのではと僕は思います。

お礼

さっそく、ご回答いただきありがとうございます。

他の方の回答と共に読ませていただきました。
「2つの解」とあり、「異なる2つの解」と書いていない以上、これは、重解も含むということなのでしょうか。

実際の入試問題では、きっと書かれているのでしょうね。
ご丁寧なご回答をいただき、ありがとうございました。