数学 定積分の問題です

質問

x>0に対し関数f(x)をf(x)=∮0～x (1/1+t^2)dtと定め、g(x)=f(1/x)とおく。
(1)(d/dx)f(x)を求めよ
(2)(d/dx)g(x)を求めよ
(3)f(x)+f(1/x)を求めよ
解答お願いします。

回答No.3

yyssaa

＞不定積分の公式：∫1/(1+x^2)dx=arctan(x)+C(定数)より
f(x)=∫(0→x){1/(1+t^2)}dt=[arctan(t)](0→x)
=arctan(x)-arctan(0)=arctan(x)
(1)(d/dx)f(x)を求めよ
＞x=tanf(x)=tanf=sinf/cosfと書くと
dx/df=(cos^2f+sin^2f)/cos^2f=1+tan^2f=1+x^2
逆関数の微分法により
df/dx=1/(dx/df)=1/(1+x^2)だから
(d/dx)f(x)=1/(1+x^2)・・・答
(2)(d/dx)g(x)を求めよ
＞g(x)=f(1/x)=arctan(1/x)
1/x=tang(x)=tangと書くと
-(1/x^2)dx/dg=1+tan^2g=1+1/x^2
dx/dg=-(x^2+1)
逆関数の微分法により
dg/dx=1/(dx/dg)=-1/(x^2+1)だから
(d/dx)g(x)=-1/(x^2+1)・・・答
(3)f(x)+f(1/x)を求めよ
＞f(x)+f(1/x)=arctan(x)+arctan(1/x)
arctan(x)=y、arctan(1/x)=zとおくと
tany=x、tanz=1/x
tan(y+z)=(tany+tanz)/1-tanytanz
=(x+1/x)/{1-x(1/x)}=∞、y+z=π/2だから
f(x)+f(1/x)=π/2・・・答

回答No.2

info222_

「∮」は周回積分や閉ループ積分だけで使う積分なのでこの積分記号を使ってはだめです。
普通の積分には「∫」を使うこと。

x>0
f(x)=∫(0～x) 1/(1+t^2)dt
t=tan(u)とおくと　dt=sec^2(u)du=(1+tan^2(u))du=(1+t^2)duより
　1/(1+t^2)dt=du,
　f(x)=∫(0～x) 1/(1+t^2)dt=∫(0～tan^-1(x)) du
　　=[u](0～tan^-1(x)=tan^-1(x) …(※)

g(x)=f(1/x)
(1)
(d/dx)f(x)=(d/dx)∫(0～x) 1/(1+t^2)dt=1/(1+x^2)…(答)

(2)
D=(d/dx)g(x)=(d/dx)f(1/x)
u=1/xとおくと
=df(u)/du・du/dt
(1)より
={1/(1+u^2)}・(-1/x^2)
=-1/{x^2・(1+(1/x)^2)}
=-1/(1+x^2) …(答)

(3)
(1),(2)より
(d/dx)(f(x)+f(1/x))=(1/(1+x^2))+(-1/(1+x^2)) =0
∴f(x)+f(1/x)=C (C:積分定数) …(★)
x=1のとき　(※)より　Ｃ＝2f(1)=2tan^-1(1)=2(π/4)=π/2
（★）にＣを代入
　f(x)+f(1/x)=π/2 …(答)

回答No.1

spring135

t=tan(u)とおく。記述の便のためt=tanuと書く。sinu,cosuも同じ。

t=tanu=sinu/cosu

1/(1+t^2)=cos^2u

dt/du=1/cos^2u　⇒　dt=du/cos^2u

t=xを満たすuは

t=x=tanu　⇒　u=arctanx (tanxの逆関数)

f(x)=∫(0→x)[1/(1+t^2)]dt=∫(0→arctanx)[cos^2u]du/cos^2u

=∫(0→arctanx)du=[u](0→arctanx)=arctanx

g(x)=f(1/x)=arctan(1/x)=arccotx=π/2-arctanx=π/2-f(x)

以上より

f(x)=arctanx　⇒　x=tanf(x) (1)

f(x)+g(x)=π/2 (2)

(1)(d/dx)f(x)を求めよ

式(1)の両辺をxで微分

1=dtanf(x)/dx=[df(x)/dx][dtanf/df]=[1/cos^2f]df(x)/dx

　⇒　df(x)/dx=cos^2f (3)

式(1)より

x=tanf=sinf/cosf　⇒　x^2=sinf^2/cos^2f=(1-cos^2f)/cos^2f=1/cos^2f-1

　⇒　cos^2f=1/(1+x^2) (4)

(3),(4)より

df(x)/dx=1/(1+x^2) (5)

(2)(d/dx)g(x)を求めよ

式(2)より

(d/dx)g(x)=-df(x)/dx=-1/(1+x^2)

(3)f(x)+f(1/x)を求めよ

式(2)より

f(x)+f(1/x)=f(x)+g(x)=π/2