３次元波動方程式の解または伝搬速度について

質問

1次元の波動方程式の一般解から、伝搬速度は求められる。

ところが３次元波動方程式には、私の知る限り、２つの特殊解

u=f(lx+my+nz-vt)+g(lx+my+nz+vt)　(l^2+m^2+n^2=1) および
u={ f(r-vt)+g(r+vt) }/r ( r=√(x^2+y^2+z^2) )

が求められるだけである。これらから、伝送速度はvと言えるのだが、
一般解が求められていないのに、本当に伝送速度v以外の解は

ないと言えるのでしょうか?
あるいは、なにか波動方程式の分析によって、速度の評価が

されているのでしょうか?　教えてください。

回答No.2

moumougoo

もとの方程式が速さ一定の波動方程式のことをいっているのですよね。
フーリエ変換してみるとよいのでは？
つまりフーリエ分解できるような関数を対象にしているのならば、
どの成分も同じ速さなのでそれらを重ね合わせて得られる解も速さ一定かと。。。

お礼

ありがとうございます。

1次元のフーリエ変換による方法はわかったのですが3次元
の場合がよくわかりません。簡単な手順と結果だけ示し

ていただけませんか?

回答No.1

spring135

一般に波動方程式の解

u=f(k↑・x↑-ωt)+g(k↑・x↑+ωt)

(k↑は波数ベクトル、x↑=(x,y,z), ω:角周波数）

において

k↑・x↑±ωt＝constant　　　　（1）

は等位相面を表し（つまり波の山なら山、谷なら谷）

(1)をtで偏微分して

k↑・(∂x↑/∂t)±ω=0

によって位相速度vが定義されます。

|k↑|・|∂x↑/∂t|=ω

|k↑|=k, |∂x↑/∂t|=v

kv=ω

これより

v=ω/k

質問者の式

u=f(lx+my+nz-vt)+g(lx+my+nz+vt)　(l^2+m^2+n^2=1)

はk=1にとっているので直接vが出ています。

補足

ありがとうございます。

質問の内容は、特殊解の伝搬速度がvであることはわかるが、
これだけで、波動方程式の伝搬速度をvといってよいのか?

一般解が提示されていないのに、特殊解だけで伝搬速度を
決めつけてよいのか?

という意味です。