2次元ヘルムホルツ方程式

質問

2次元ヘルムホルツ方程式
2次元ヘルムホルツ方程式
∂^2 u/∂x^2 + ∂^2 u/∂y^2 + k^2 u = 0が、
・周期的境界条件を満たし、
・いたるところ非負
となるような解uを持つことはあるでしょうか？

回答No.2

noname#121794

周期的境界条件を考えず、
xを任意に固定すればyについて周期解をもち非負かつ逆にyを任意に固定すればxについて周期解であり
非負。もちろん任意実数x,yに対してもu≧0・・・・(#)
を満たすようなuを考えることにする。

(解説)　n,aを未知数として

　　　　∂^2u/∂x^2 = (-k^2/n)u - a
∂^2u/∂y^2 = (-(n-1)k^2/n)u ＋a　　・・・・・・・(##)
とおいて　uを求めると

　　u=(sin(kx/√n)＋na/k^2)sin(√(1-1/n)ky)-na/(n-1)k^2 が(##)の解

さて(#)を満たすようなn,aの範囲の一つとしては
　　　　1<n<3/2 かつ　 -k^2/n <a< k^2(n-1)/n(n-2)　・・・・・(1)
のときである。
(なぜそう求められたかは省略)
したがって(1)を満たす例としては
n=4/3 , a=-k^2/2のとき
つまり　u=(sin(kx√3/2)-2/3)sin(ky/2)＋2 であるとき
任意にxを固定してもyについても非負な周期解をもって逆に任意にyを固定してもxについて
非負な周期解を持つことが分かった。
だから残りは適当にx,yの範囲を定めればよい。
例えば境界をx=-1/2,x=2,y=-3,y=6
としてuの定義域D={(x,y)| -1/2≦x≦2,-3≦y≦6}

君の言っていることとずれてしまい、境界的周期解の拡張を考えてしまった。

回答No.1

noname#121794

ある。
例として
u=(sin(kx/√2)-2)sin(ky/√2)＋2　(0≦x≦π√2/k,-∞<y<∞)

境界条件を考えると
x=0のとき
u=-2sin(ky/√2)＋2 でこれはyに関して周期関数でかつ
yがどんな値でもu≧0

x=π√2/kのときはx=0のときと全く同じ関数になる。

さて非負かどうか考えると
0≦sin(kx/√2),sin(ky/√2)≦1 より

|(sin(kx/√2)-2)sin(ky/√2)|≦2
だから
このとき　u≧0

ちょっとしたコツを教えると
　∂^2u/∂x^2＝((-k^2)/2)-k^2
∂^2u/∂y^2＝((-k^2)/2)＋k^2

とおいてやればuの一つの解は

u=(sin(kx/√2)-2)sin(ky/√2)＋2　(0≦x≦π√2/k,-∞<y<∞)　が分かる

お礼

ありがとうございます。
y軸方向にも周期的だったらどうでしょう？
自分でも考えてみますが、
よろしければ考えていただけますと助かります。