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一次元自由粒子
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- sanori
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考え方は単純で、 複素指数関数ｅ^(iθ)、すなわち、複素数 cosθ＋ｉsinθ は、２次元ベクトルと同じだからです。 反時計回りと時計回りとで、 cosθ＋ｉsinθ と cosθ－ｉsinθ という、必ず２つのペアがあります。 しかしながら、 ｎ＝０というのは、粒子がある場所から、正確に中心に向かう方向に輪っかを手で揺すっているから、粒子が止まってるようなイメージなんでしょうけど、 それだったら、棒の場合も、棒の長さ方向と垂直に揺すれば止まりますよね。 輪っかと平等に考えるなら、ｎ＝０ も・・・？
sinkx=(e^ikx-e^-ikx)/2iと書き換えられます。 一方、量子力学では、波動関数を定数倍したものは もとの波動関数と代わらないという性質があります。 (波動関数は線形性を持つといったりします） で、仮に固定端境界条件の場合に『n=-m(m>0』という負の 整数が解になるとしてみましょう。 このときk=-πm/L≡-k'(k'=πm/L ですが、sinkx=(e^ikx-e^-ikx)/2i =(e^-ik'x-e^ik'x)/2i=-(e^ik'x-e^-ik'x)/2i =-sink'xとなります というか、sin(-kx)=-sinkxを使ってもいいですが とにかく負の整数n=-mを解として採用したとしても それに対応する波動関数は、n=mという自然数 の場合の波動関数、に単にマイナスをかけたものに 等しくなるから、状態は同じになります。だから固定端(sinkx)条件では、自然数だけでよいことになります。負の整数も採用すると、解を2回カウントすることになります。 周期境界条件では、Ce^ikxという波動関数が解 ですが、この場合負の整数を採用すると、状態は 正のときと異なります。つまり、e^ikxとe^-ikxの 状態は異なります。古典的な描象では、粒子の進行方向が右向きか左向きか、で区別していることになります。
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分かりやすい回答ありがとうございます。 参考になりました！