シュレーディンガー方程式に関する問題です。

質問

(1)シュレディンガー方程式において、V(ｘ)＝0とする。Φ＝Ae^ikx+Be^-ikxのとき、全エネルギーEを求めると、E=(h/2π)^2*(1/2m)k^2であってますか？

(2)また、B＝0のとき、Φ＝Ae^ikxの位置ｘに粒子を見出す確率密度は|Φ|＾2を計算して求めると思うのですが、複素共役のとり方がよくわかりません。複素共役をとって計算するとA^2になると思うのですが、これであってますか？

(3)次に、0＜ｘ＜Lの領域でV（X)＝0で、それ以外は無限大であるとする。この粒子の全エネルギーEと規格化された波動関数Φを求める問題ですが、この問題をどのように解けばよいか教えてください。この問題はΦをオイラーの式で展開しないと解けませんか？

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

暑いので、頭が回りません。
微分方程式を解く気力もおきません。
微分もする気が起きないので、すべて直観で答えます。

（１）は境界条件がないので、解けないと思うのですが・・・
☆E=(h/2π)^2*(1/2m)k^2であってますか？
◇二度微分すると、そうなりそうですね。
でも、kがわからないので、あんまり意味がないと思うのですが・・・

（２）Φ = Ae^jkxの複素共役Φ* = Ae^(-jkx)です。なので、A^2になります。
e(jkx) = cos(kx) + j・sin(kx)
この複素共役 = cos(kx) - j・sin(kx) = cos(-kx) + j・sin(-kx) = e^(-jkx)

(３)
　　V(x) = ∞, Φ(x) = 0　　　（x≦0）　　
　　V(x) = ∞, Φ(x) = 0　　　（L≦x）
として解けばいいんです。
ようするに、境界条件を
　Φ(x) = 0 at x=0, x=L
として解けばいいんです。

Φ = Ae^(jkx)+Be^(-jkx)として
真面目に計算をしてもいいですけれども、
A＋B＝０　　　（at x = 0)
A = -Bなので
これが正弦関数であることがすぐにわかります。

ですから、
　Φ = Asinkx
として、
x=Lの境界条件から、sinkL = 0
　k = nπ/L （n = 1, 2, 3・・・)
で、
EはΦを二度微分して、右辺と比較すればでてきます。
En = (h/2π)^2・(nπ)^2/(2mL^2)
とかになるんじゃないですか
（解いていません。直観です、間違っているかもしれないので、真面目に計算をしてください）

なお、
Aの規格化をおわすれなく。