有限長ソレノイドについて

質問

有限長ソレノイドによって発生する磁束の求め方を教えてください！これは単純にこのソレノイド自身のインダクタンスLと流す電流Iの積でいいんでしょうか？
あとその有限長ソレノイドの各空間（2次元）のベクトルポテンシャルを求めるプログラムを作成したのですが、そのベクトルポテンシャルから磁束を求める方法などを知っていましたら教えてください！
これは手計算で求めた磁束とプログラムで求めたベクトルポテンシャルから磁束を求めて比較することで、このプログラムが正しく動作しているかを確認するためです…。どうかよろしくお願いします。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

補足拝見しました。自己努力で良い結論まで行ったようなので感心しました。
（以下、コイル半径をａ、全長をｂ、単位長あたりの巻数をｎと書きます。）

１．
>> 有限長ソレノイドはф=LI じゃ磁束は求まらないはずですよね？　<<

　有限長でも成立します、фは磁束の総和＝全磁束 として故意に変な大文字で書きました。というか実は 成立するのは当たり前で
　　Ｌ≡ф/Ｉ
と、Ｌの方を定義してる式なんです、本当は。　Ｌの定義自体が全磁束фを使ってるんです。
（それゆえ、サイトでＬを計算してもらえばその数値は1アンペアのときの全磁束なので プログラム検証に使えるという事です。　逆に 全磁束фを計算するように改造したものはＬ計算ソフトですね。）

　電荷と電束の関係で 出て行く総量＝発生する総量 というのを学んだと思いますが 同じように今回も 全磁束фは発生源Ａの総和です。

２．
>> 回転をとるっていうのがどうやったらよいものかと…　<<

　変に遠回しに書いてすみませんでした。
AからBは rot計算ですが 今回のようにそのあと面積分してしまう場合は、
　　∫rotA・dＳ → ∫A・ds
という、rot計算が要らない積分に変換できてしまうんです。これはストークスの定理という使い道の多い数学公式です。
（・はベクトルの内積、左辺は面での積分、右辺はその面のヘリだけを一周する線積分です。）
だから、

>> 自分で考えまして磁束はAを線積分することにしました。（これは軸対象を仮定して単純に2πrを掛けるだけです。）　<<

　ＧＪ！ ストークス定理と同じ思考をしたのなら見事です、普通は「ストークス定理の形なので‥」と公式依存でスルーが多いのです。　しかしここは電磁界計算のキモだし その思考プロセスは物理全般で応用性が絶大なのです。　超貴重な経験値だと思います。

３．
　参考までに、
コイルの形によく合う円柱座標（r,θ,z）系での
ベクトルV=(Vr,Vθ,Vz) のrot計算は
　ｒｏｔV =
　　　　 {　1/r∂Vz/∂θ - 　∂Vθ/∂z　} er
　＋　　 {　　 ∂Vr/∂z 　-　　∂Vz/∂r 　 } eθ
　＋1/r { ∂(rVθ)/∂r　- 　　∂Vr/∂θ　} ez
です。
er,eθ,ez は座標軸の単位ベクトル。

　今回は、磁界
　　B = rotA
を求めたあと、磁束
　　Φ = ∫B・dＳ
の積分をしてしまうので、
dSがz軸方向を向いたベクトルなので 内積は それと平行な成分しか残らない、つまりz成分しか残りません。　さらにθ方向には一様なので∂/∂θの項はゼロです。
　しかしこんな単純でない場合は大変なので ストークスの定理を使って rot計算を省略します。

４．
　全磁束фは；
単位長にループ電流がn個あるから微小長さdzの間にはndz個ある（この考えはAの式でも使ってますよね？）、Φをコイル長さbに亘って総和。
　　ф = ∫[端から端まで]Φndz
　　　　= 2πan∫[端から端まで] A'dz
A'はAのθ方向成分でr=aでの値。（あなたが結論した所ですね）　nは単位長あたりの巻数=総巻数/b。

お礼

長々とありがとうございました！とりあえず何とかなりそうです。本当にありがとうございました！！

回答No.1

Teleskope

１．
>> ベクルポテンシャルから磁束を求める方法などを <<

　　　B = rotA
ではダメなんですか。ｗ　磁束はこのベクトルを面積分しただけ
　　∫dф = ∫B・ds　　・は内積
実用的に役立つ量(スカラ)です。

　計算の検証なら 例えば一回巻きの単ループで試しました？中心線上での Ｂの式は単純明快ですから。

２．
>> 単純にソレノイドのインダクタンスLと電流Iの積でいいんでしょうか？ <<

　いわゆる ф=LI の式ですか？せっかくプログラム作ったんだから、例えば長さ10cm,直径10cm、電流を単位値 1A とし、コイル中央断面でのBの総和を求めて、いっぽう
Ｌ の数値計算はネットに豊富にあるので、
たとえば、
http://www-lab.ee.uec.ac.jp/vlab/bridge/nagaoka/
で拾って 数値を比べて、自己解決してみましょう。
一歩進んで、上記サイトのような L を計算するにはどうすればいいか考えましょう。

参考URL：

http://www-lab.ee.uec.ac.jp/vlab/bridge/nagaoka/

補足

まずはご返事ありがとうございます！

>B = rotA
>ではダメなんですか。ｗ　磁束はこのベクトルを面
>積分しただけ
>　　∫dф = ∫B・ds　　・は内積
>実用的に役立つ量(スカラ)です。
>

質問したようにプログラムで求めているのはコイルを真っ二つに一刀両断した断面のベクトルポテンシャル（二次元）ですので回転をとるっていうのがどうやったらよいものかと…。この質問をしてからしばらく自分で考えましてベクトルポテンシャルから磁束を求める方法についてはベクトルポテンシャルを線積分することにしました。（これは軸対象を仮定して単純に2πrを掛けるだけです。）

>　計算の検証なら 例えば一回巻きの単ループで試し
>ました？中心線上での Ｂの式は単純明快ですから。

そのプログラムというのが有限長ソレノイドをワンターンコイルの集まりに近時して計算しています。ですからワンターンコイルで検証するのではなく、有限長ソレノイドと比較検討したいんですよ。（しかもワンターンコイルの中心軸上のベクトルポテンシャルは求まってもそこからどうやって磁束密度を求めていいかわからない…）

>いわゆる ф=LI の式ですか？せっかくプログラム作っ>たんだから、例えば長さ10cm,直径10cm、電流を単位
>値 1A とし、コイル中央断面でのBの総和を求めて、

コイル中央断面でのBの総和とおっしゃってますがそれはコイル中央断面での磁束ってことですよね？その総和をとる方法がわかんないんですよ…。

>いっぽう
>Ｌ の数値計算はネットに豊富にあるので、
>たとえば、
>http://www-lab.ee.uec.ac.jp/vlab/bridge/nagaoka/
>で拾って 数値を比べて、自己解決してみましょう。
>一歩進んで、上記サイトのような L を計算するには
>どうすればいいか考えましょう。

ちなみにそのサイトは発見していてお世話になってます(^^;)でも有限長ソレノイドは無限長ソレノイドと違ってф=LI じゃ磁束は求まらないはずですよね？それともある断面ならそれで求まるんでしょうか？
何かわからない尽くしですみません…。何か助言できることがあればお願いします！