絶対値について

質問

昨日、書きこみをしたのですが消されてしまいました。
写しもせずに、一生懸命自分の言葉でまとめたのに。
もう一度おしえてください。

等式11x-97y=1をみたす整数x,y。|x-y|の最小値を求める方法がわかりません。

自分の考えで、
11x - 97y = 1のyに1,2,3,…を順番に代入して
11x - 97*1 = 1 ⇔ 11x = 98 　 xは整数にならない
11x - 97*2 = 1 ⇔ 11x = 195 　 xは整数にならない
11x - 97*3 = 1 ⇔ 11x = 292 　 xは整数にならない
11x - 97*4 = 1 ⇔ 11x = 389　　xは整数にならない
11x - 97*5 = 1 ⇔ 11x = 486　　xは整数にならない
11x - 97*6 = 1 ⇔ 11x = 583 ⇔ x = 53
よって、11x - 97y = 1の解の１つは(x, y) = (53, 6)
となって。
代入すると。

　11x - 97y = 1
⇔11x - 97y = 11*53 - 97*6
⇔11(x - 53) = 97(y - 6)
11と97は互いに素なので、
x - 53は97の倍数　かつ　y - 6は11の倍数となるのはわかるのですが、どうしてそう言えるのですか？
ずっと、疑問で、

　x - 53 = 97m, y - 6 = 11m（mは任意の整数）
すなわち、一般解は
　(x, y) = (97m + 53, 11m + 6)
よって、
　|x - y| = |86m + 47|
となり、この値はm = -1のとき最小値39だそうですが、
m=-1のとき最小値は-39ではないのでしょうか？
絶対値の意味がよくわからなくて、ここで止まっています。
昨日とほとんど同じような書きこみをしたのですが、
やっぱり、これも消されるのかな？
なるべく、早くおしえてください

回答No.2

noname#6715

絶対値記号は正の数にします
(何か複素数などの範囲に語弊が生じるのは
勘弁してください)

|-3|=3
|3|=3
|-5|=5

ところで
|86m+47|の最小値はm=-1の時
|-39|=39
よって39です。

この手の問題は僕はグラフで解くけどね(汗)

回答No.1

hinebot

数（正確には実数）には、正の数と負の数があるのはOKですね。

数直線を考えてみてください。
絶対値というのは、０からの距離のことです。
違う言い方をすれば、符号をとったものです。

|3|=3
|1|=1
|0|=0
|-2|=2

となります。|　|の中と、右辺の値との関係がわかりましたか？
一般に、実数a に対して
i)a＞0 のとき |a|=a （|　|がそのまま外せます）
　これは当然 |a|＞0 ですよね。

ii)a＜0 のとき |a|=-a （マイナスをかけてから、|　|を外します）
　aが負なので、マイナス×マイナスで、結果はプラスになります。つまり、この場合も |a|＞0　です。

iii)a=0 のとき、上述のように |0|=0 です。

i)～iii)をまとめると、|a|≧0 が必ず成り立ちます。
i)～iii)は、絶対値の定義でもあります。

ここまで理解できましたか？

>x - 53は97の倍数　かつ　y - 6は11の倍数となるのはわかるのですが、どうしてそう言えるのですか？

質問内容が矛盾してませんか？
わかるのに、わからない？？

ま、それはおいといて…
x,yは整数です。なので、x-53もy-6も整数です。
11(x - 53) = 97(y - 6)
であり、右辺が97の倍数なので、左辺も97の倍数であり、そのためには、x-53が97の倍数でなければなりません。
∵11と97は互いに素⇒ 11は97の倍数ではない
同様に、y-6も11の倍数でなければなりません。

>x - 53 = 97m, y - 6 = 11m（mは任意の整数）

こう置けるのはいいですか？
こう置くことで、右辺も左辺も 11×97×m となり等号が成り立つわけです。

>m=-1のとき最小値は-39ではないのでしょうか？

上で説明したとおり、絶対値は必ず正または０（≧０）です。
問題は|x-y|の最小値を求めるのですから、その最小値もやはり正または（≧０）です。

>|x - y| = |86m + 47|
この式に m=-1を代入してみましょう。
|x-y| = |86×(-1)+47| = |-39| =-(-39)= 39
となりますよね。
（分からなければ、絶対値の定義の説明を読み直してくださいね。）