不等式

質問

不等式x-y＋１＞０と(x＾２)＋（ｙ＾2)-4≦０
を満たす整数（ｘ、ｙ）の組数は？

(x＾２)＋（ｙ＾2)-4≦０は
円の方程式ににているとおもいます

これにx=0,1,…と代入するのでしょうか？
でもそれだと
(1,0)と(2,0)しか成立しないかんじですが

おしえてください

回答No.8

twins-mama · ベストアンサー

すみません。まず訂正です。
y < x+1
の表す領域は直線　y=x+1＝ｘ＋1の下側(境界を含む)

と下で書いてましたが、
y < x+1
の表す領域は直線　y=x+1　下側(境界を含まない)
の間違いです。不等式に＝が入っていないので。ごめんなさい。

ところで、
x=2のとき、　y=0　
x=1のとき、　y=1,0,-1
x=0のとき、　y=0,-1,-2
x=-1のとき、 y=-1
x=-2のとき、 条件にあるyは存在しない

は代入したわけではありません。(グラフを見て微妙な場合は代入しますが、このグラフでは微妙な点はありませんでした。)
まず、図は描いてみましたか？そして、円の内側、直線の下両方を満たす部分に薄く色を塗ってみてください。求める点は、今色を塗ってもらった部分にあります。そのことを頭において、下の文章を読んでください。

x=0,2の時を例に説明してみますね。

x=0のとき。直線x=0はy軸を表しますね。だから点(0,y)はy軸上にあります。中心（0，0)半径2の円の内部(境界を含む)にあるので、y＝-2,-1,0,1,2　しかありえません。
また、直線　y=x+1の下側(境界を含まない)ですから
y＝1,2は満たしませんね。だから、y＝-2,-1,0というわけです。実際は円と直線を一度に考えたほうが楽ですよ。

x=1のとき。直線x=1を書きます。すると、図から考えてy=1,0,-1
だって、y=2のときは、明らかに円外ですよね。あれ？と思ったら、直線y=2を考えてください。これと直線x=1の交点（1，2)は円外にありますね。または、直線に注目して、領域y < x+1　を満たしてないことから説明もできます。x=1,y=2を　y < x+1　に代入すると、2>1+1
となり、式が成り立ってません。ということは領域y < x+1を満たしてないということです。
同様に、y=-2　のときも成立ってません。
y=2,-2で成り立たないなら、y＞2,ｙ＜-2の部分でも成り立ってないことはグラフからわかりますね。

x=2,-1,-2　のときも、直線x=2,x=-1,x=-2に注目してやっていくとできます。

グラフに点(x,y)「ただしx,yは整数」となる点を書き込んでいくとよくわかると思います。ちなみに、この点(x,y)は直線x=a,x=b（a,bは整数）を結んでいった時の交点ですね。この直線がすべて直角に交わっていて格子のようなので、#3さんがおっしゃるように格子点と呼ばれています。

回答No.7

twins-mama

負の数に触れてないことは#1さんが最初におっしゃっていましたね。すみません。

x^2+y^2 ≦ 2^2
の表す領域は中心（0，0)半径2の円の内部(境界を含む)
y < x+1
の表す領域は直線　y=x+1＝ｘ＋1の下側(境界を含む)

ということで、円と直線のグラフを書くことはほかの方が丁寧に説明してくださってますね。
後は、これを満たす(x,y)の組を探すだけです。x,y一度に考えるのは大変だから、まずはxだけに注目することとします。

円の内部(境界含む)ということと、xは整数ということから、x=2,1,0,-1,-2
しかありえません。
後は点(x,y)円の内側、直線の下という条件を満たす整数yを探すだけです。グラフを見ながら書いてみてください。
x=2のとき、　y=0　
x=1のとき、　y=1,0,-1
x=0のとき、　y=0,-1,-2
x=-1のとき、 y=-1
x=-2のとき、 条件にあるyは存在しない

よって(2,0),(1,1),(1,0),(1,-1),(0,0),(0,-1),
(0,-2),(1,-1)の8通り

補足

x=2のとき、　y=0　
x=1のとき、　y=1,0,-1
x=0のとき、　y=0,-1,-2
x=-1のとき、 y=-1
x=-2のとき、 条件にあるyは存在しない

はどこの式に代入したのですか？

回答No.6

twins-mama

>8組あるそうですが
>私は２組しかないようなかんじがするのですが

整数ですから、負の数もありえますよ。

補足

もしよかったら
負についてもおしえてくれませんか？

回答No.5

hinebot

>(x＾２)＋（ｙ＾2)-4≦０は
>円の方程式ににているとおもいます

着眼点はあってますよ。 -4を右辺に移項すると
x^2+y^2 ≦ 4 = 2^2

これが不等号でなく、等号だったら、つまり、
x^2+y^2 = 2^2 　　----(1)
だったら、原点(0,0)中心、半径2 の円ですね。
では、不等号がつくとどうなるか？
結論から言うと
x^2+y^2 ≦ 2^2
は、(1)の円の内側と円周上の点　を表しています。
x^2+y^2 が丁度(半径)^2 になっている点の集合が円周ですから、
x^2+y^2 が(半径)^2　より小さいということは、円の内側を意味します。

さて、もう一方の不等式 x-y+1 >0 を考えましょう。
変形すると
y < x+1
になるのはいいですか。
これも y= x+1 と比べましょう。（これは傾き１、ｙ切片1の直線です）
x+1 と yが等しい点の集合が直線ですから、
y < x+1
は、x+1 よりy の方が小さいということ、つまり、直線の下側になります。
なので、これを両方満たす範囲、つまり、直線の下側で、かつ円の内側（円周を含む）を考えましょう。
実際にグラフを書いてみてください。

補足

8組あるそうですが
私は２組しかないようなかんじがするのですが

回答No.4

gamasan

おう間違えた　直線の下側だった失敬

回答No.3

p-masa

>>円の方程式ににているとおもいます
その通りです。円の方程式を利用して解きます。

この問題は座標平面上に
x^2+y^2≦4 (円x^2+y^2=4の境界を含んだ内部)と
y＜x+1 (直線y=x+1の境界を含まない下側)
の領域をまぁまぁ正確に図示して、その中に含まれるx座標,y座標ともに整数の点(格子点)を数えていく問題です。

回答No.2

gamasan

まず　グラフを書いてみましょう
直線の方は
ｙ＝ｘ＋1の線の線を含まない上側

円の方は原点（0，0）を中心とする半径2の円の線を含む
内側ですよね

回答No.1

eatern27

私なら、グラフを書いて考えますが、

＞これにx=0,1,…と代入するのでしょうか？
の方針でもOKです。ただし、"整数"(x、y)の組なので、xまたはyが負の場合も数えなければいけません。つまり、x=-1,-2の場合も考える必要があるし、yが負の整数場合も考える必要があります。なので、
＞(1,0)と(2,0)しか成立しないかんじですが
全然足りません。(x≧0、y≧0しか考えていなかったとしても足りてません)

参考までに、
＞(x＾２)＋（ｙ＾2)-4≦０
はmac012さんのお考え通り、円と関係があります。これは、円の内部を表しています。