参考書の整数問題で疑問があります

質問

x^3－3x－1＝0…（＊）は、有理数解を持たないことを示せ。
考えは、
整数でない有理数解をもつと仮定すると、その解はp/q（p、qは互いに素の整数、q≧1）とおける。（＊）に代入して両辺にq^3をかけるとp^3－3pq^2－q^3＝0
p^3＝q（3pq＋q^2）…（＊＊）

質問１：この式からは、、左辺はpの倍数だから、右辺はpの倍数で、しかしp、qは互いに素なので
（ア）q＝1
または
（イ）q≠1かつ3pq＋q^2はpの倍数
という独立した２つの条件が得られるという理解でいいですか？

質問２:参考書は、（ア）の条件だけ考えて、解がp/1（整数）だから前問に矛盾。としてましたが、（イ）は考えなくていいのですか？？

数学は得意ではないので教えてください…

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

つまり、あなたが考えた方法はダメという訳ではありませんが、
その方法だとあなたの言う通り(ア)と（イ）の可能性が
両方否定出来ず、両方調べる必要がある、というだけの事です。
（あなたが考えた方法では）（イ）は別に余計になるわけでは
なく、別途調べる必要があります。

一方、あなたが考えた方法は無視して、私が書いた方で
考えると、（あなたが考えた方法を考慮する必要もなく）
q=1というのは（特に場合分けをする必要もなく）
導かれるという事です。

お礼

ありがとうございました。もう少し考えてます

回答No.1

tmpname

注目方向が逆で、
　(**)の右辺はqの倍数だから左辺もqの倍数であるが、pとqは
　互いに素なのでq=1
です。

補足

ありがとうございます。
いきなりですが、逆だとなぜダメ（（イ）が余分）なのでしょうか？
私の書いた注目方向と、その逆の注目方向の２つの条件から、（ア）のみに絞られるということですか？すみませんお願いします…