因数分解ができても五次方程式は解けないということ

質問

これは質問ではないかもしれませんが、(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0で、a,b,c,d,eが根となるとしても、この方程式は解けないという風に考えていてもよいのでしょうか。具体的に何かをやってみたいのではないのですが、高校時代に因数分解に悩まされたことと関係があるのだろうかと想像しております。

回答No.5

Knotopolog

質問者さんは，方程式が｛解ける」という意味を誤解されておられるようですね！

＞因数分解ができても五次方程式は解けないということ
（１）．因数分解ができれば，その時点で方程式は解けたということです．
（２）．「五次方程式が解けない」という意味は，一般的には解けないと言うことです．「一般的には解けない」というのは，五次方程式　x^5＋Ax^4＋Bx^3＋Cx^2＋Dx＋E＝0　に対して，実数，A，B，C，D，E　がどんな数であっても，＋, －, ×, ÷, √，を使って，x＝ψ(A，B，C，D，E)と書ける関数ψが無いということです．
（３）．(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0　は，たまたま，五次方程式　x^5＋Ax^4＋Bx^3＋Cx^2＋Dx＋E＝0 が，

A＝－(a＋b＋c＋d＋e)
B＝(b＋c＋d＋e)a＋(c＋d＋e)b＋(d＋e)c＋ed
C＝－((c＋d＋e)b＋(d＋e)c＋ed)a－((d＋e)c＋ed)b－edc
D＝(((d＋e)c＋ed)b＋edc)a＋edcb
E＝－edcba

という関係にあるため，x^5＋Ax^4＋Bx^3＋Cx^2＋Dx＋E＝0　が　(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0　に変形できる，と言うにすぎません．

＞(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0で、a,b,c,d,eが根となるとしても、
＞この方程式は解けないという風に考えていてもよいのでしょうか。

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=0 の方程式は、a,b,c,d,e が根で解けています．したがって，この「方程式は解けないという風に考えて」はいけません．この方程式は解けています．

繰り返しになりますが，「五次方程式は解けない」のではなく，公式に書き表せない，だけなのです．ただ，それだけの事です．

ですから，もし，新しい方法が考え出されれば，その新しい方法を使って公式に書き表せる時代が来るかも知れないという事です．

お礼

おかげさまで自分なりに納得できたと思えました。ありがとうございました。

補足

ガロアやアーベルという人が言っていたことは関係がないのでしょうか。