素粒子論の内部空間と外部空間

質問

こんにちは、
素粒子論の内部空間と外部空間のそれぞれの意味、違い等を教えてください。

回答No.3

akinomyoga · ベストアンサー

> 承知しました。厳密には実際の空間は、一般相対論によれば、ユークリッドではなく、
> リーマン幾何学上で成り立ちますね。

うーん、まあ現実には(近似的に)そういう事になっているだろうと予想されますが、問題はそんな簡単ではありません。先ず、粒子という概念は本当に理想化された状況で定義され、そこからの「ずれ」の効果を摂動的に計算する事で物理を記述します。リーマン計量のユークリッドからの(というか正確にははミンコフスキー時空からの)ずれの部分も、その「ずれ」に入れて摂動的に計算するのが普通です。つまり、計算上は平坦な空間の上で取り敢えず時空やら内部空間やらを定義して更に粒子を定義し、その後で時空の歪みの効果を後で計算するという事です。

更に、時空の歪みが摂動的に取り扱えない程大きい場合や、重力場自体を動的に取り扱いたい場合には、そもそも普通の場の理論で摂動論を行う事はできなくて、実際現実がどうなっているのか全然分かっていません。何か計算したければ、より微視的な重力場の起源だとかについての模型(例えば超弦理論だとか)を仮定して計算しなければなりません。この辺りは、模型に依存する所が大きいでしょうから何ともいえません。模型によって色々です。というか、この様な標準模型を超える話になってくると、粒子という概念だとか場の量子論の概念も怪しくなってきて、例えばアイソスピンに対応する内部空間(というかより一般にはフレーバーSU(6)etc)の正体についても "実は全然違う物だったのが内部空間のように見えていました" とか色々な説がある様な気がするので、ここまで内部空間だとかの概念をそのまま延長して持ってくるのは色々危険な気がします。要するに、重力場を素粒子の言葉である場の量子論(orそれを包含する別の形式)で取り扱う方法はまだまだ模索中で、その様なより下層の物理では、場の量子論の内部空間という概念がそのまま通用するかしないかも分からないという事です。

しかし、強調しておきたいのは重力の効果は極めて小さいので普通ははなから眼中にありません。ブラックホールの中だとか初期宇宙だとか統一理論を研究する一部の人達はその様な効果も計算に取り入れるのでしょうが。(一般相対論やブラックホールなどは一般受けするのでよく一般向けに紹介されますが、実際はそれ以外の事をやっている物理学者の方が断然多いです。) なので、普通は平坦な時空、或いは、その上での摂動までしか考えません。

> スピン空間 (SU(2))は、ユークリッド空間なのでしょうか？

SU(2) は、球面を二回くるんだみたいな位相的構造をした空間で、コンパクト集合です。更に、距離の概念を導入しない(ように思う)ので、ユークリッド幾何でもないしリーマン幾何でもないです、というかSU(2)の上で幾何学は構成しません。もし、距離を無理矢理導入するとしたら位相的構造からリーマン幾何にならざるを得ない気はしますが、まあ、考えても無意味です。

> Sx, Sy, Szの他に、実際の空間で存在する xy軸, yz軸, zx軸成分はないのでしょうか？

Sx, Sy, Sz はそれぞれ x軸, y軸, z軸に対応すると書きましたが、軸ではありません。Sx, Sy, Sz は演算子です。対応するというのは「関係がある」という程度の意味です。強いて言うなら、演算子 Sx, Sy, Sz の固有値が3つの軸方向の値に対応します。というか、勉強すればすぐに分かる事です。

次に、"xy軸, yz軸, zx軸成分" って何の事ですかね。聞いた事ないですが。二階テンソルの基底の事ですかね。それとも、その反対称成分である軸性ベクトルの基底 z, x, y の事ですかね。

> どのような本や文献を見れば、そのことを確かめられるでしょうか？

取り敢えず、コンパクトな連続群について一通り勉強して下さい。こんな所で質問しているよりもずっと良いです。
物理学者向けに平易に解説した教科書として例えば、
Lie Algebras In Particle Physics: from Isospin To Unified Theories
(Amazon → http://www.amazon.com/Lie-Algebras-Particle-Physics-Frontiers/dp/0738202339
PDF → http://mural.uv.es/rusanra/Lie%20Algebras%20in%20Particle%20Physics%202%C2%AA%20ed%20-%20From%20Isospin%20to%20Unified%20Theories%20(Georgi,%201999).pdf )
の様な物があります。

お礼

お返事有難う御座います。
＞距離を無理矢理導入するとしたら位相的構造からリーマン幾何にならざるを
＞得ない気はしますが、まあ、考えても無意味です。
現状が解りました。でも考えたいです。

回答No.2

akinomyoga

場の理論では「内部空間」というのは一般的に用いられる用語です。単に「内部空間」というだけで通じます。一方で、外部空間という用語は聞いた事ないですね。"普通の空間" だとか、"実際の空間" だとか、"実空間" だとか気分によって色々な言い方をします。ここでは "内部空間" と "実際の空間" という事にして説明します。

実際の空間というのは、我々が日常的に「時間・空間」と呼んでいる物の事で、3+1 次元(など)の座標 x で張られる時空間の事です。対して、内部空間というのは実際の空間の各点上で、座標とは独立な(1個以上の)変数で表される状態の集合の事です。直観的には、「実際の空間の各点上にある、実際の空間とは別の変数の空間」と思って下さい。

【天気図の例え(?)】
例えば…カラーの天気図を考えてみます。「実際の空間」というのは天気図の紙面の事です。そして「内部空間」は、天気図を塗っている各点の色だとか、各地点の温度だとか風速だとか、そういった物を考える時(例えばグラフを描く時とか)の便宜上の空間です。例えば色は「色光の三原色=赤緑青」を用いて R=赤の強さ, G=緑の強さ, B=青の強さ の3変数で表す事ができますが、これをRGB空間 (参照: http://ja.wikipedia.org/wiki/RGB の右下の図など御覧下さい) 上の1点と1色を対応させて考える事ができます。また温度は、温度計の管という「一次元空間」の上の1点と対応させて表現する事ができます。速度も、例えば v_x-v_y 空間上の1点として表現できます。

こういった変数の空間は、実際の普通の空間とは関係ありません。
(A) 特に、RGB空間だとか、温度の空間に関して言えば一切の関係がありません。例えば "R が北の向きで G が東の向きで B が標高に対応する" 等といった事は全然無いのです。こう言った RGB 空間や温度空間は間違いなく「内部空間」です。
(B) 一方で、風速の空間は少し微妙です。風速の絶対値自体は実際の空間とは関係ありませんが、風速の「向き」は実際の空間における「向き」と対応があります。この様な種類の空間は、文脈によって内部空間と呼んだり呼ばなかったり、接空間と呼んでみたりなど色々微妙です。(うーん…"内部自由度" とは言うけれど "内部空間" とは言わないかな…ちょっと分からなくなってきました。まあ、言葉遣いの習慣の問題に過ぎないので余り大した事ではないと思いますが。)

(※念のために書いておきますが、天気図の例は概念を直観的に分かって頂く為の「例え」に過ぎません。天気図に当て嵌まる事が何でも素粒子にも当て嵌まるとは考えないで下さい。素粒子を記述する場の理論と天気予報は全く異なる物ですからね。)

【例1】
例えば、アイソスピンは内部空間の一種です。特に上の例で挙げた (A) の様な物 (RGB空間的な物)で、アイソスピン空間内の向きと実際の空間内の向きの間の対応も全くありません。ここで、わざわざ説明の際に「アイソスピン空間は普通の空間とは区別される内部空間の一つである」などと言うのは「"アイソスピンの空間と実際の実際の空間に関係がある" と勘違いしないでね、**関係ないよ**」という事を強調したい為です。アイソスピンの空間の対称性は SU(2) (2次元複素数の回転的な物) ～ O(3) (3次元空間回転) であり、便宜上、変換の生成子を Tx, Ty, Tz と書くなどする為に、"実際の空間と関係があるのではないか" ("アイソスピン空間内の向きと実際の空間内の向きが対応するのではないか"等)と錯覚する人が多いという背景があります。

【例2】
一方で、スピン空間 (SU(2))は、上の例の (B) の様な物 (風速的な物) で、実際の空間の向きと対応があります。変換の生成子の Sx, Sy, Sz はそれぞれ実際の空間の x軸, y軸, z軸と関係があります。これは普通は、内部空間とはいわない気がします。(といって、実際の空間とも言いませんが。敢えて言うなら、実際の空間に関連して定義される空間などと言うんですかね。)

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ところで、このサイトは "大学教授級の「回答者」がウジャウジャ居る" 等とは到底思えませんね。殊に、相対論・量子論・素粒子に関連する質問に到っては、「SFファンの頓珍漢な質問に対して SF作家が更に頓珍漢な答えを返している、または、はぐらかしの回答をしている」という場合が多い気がします。というか、大学教授級の人は忙しいので、こんな所に来て回答する暇など有る訳ありません。

補足

詳しいご説明有難う御座います。

＞実際の空間というのは、我々が日常的に「時間・空間」と呼んでいる物の事で、
＞3+1 次元(など)の座標 x で張られる時空間の事です。
承知しました。厳密には実際の空間は、一般相対論によれば、ユークリッドではなく、
リーマン幾何学上で成り立ちますね。

＞一方で、スピン空間 (SU(2))は、上の例の (B) の様な物 (風速的な物) で、実際の空間の
＞向きと対応があります。変換の生成子の Sx, Sy, Sz はそれぞれ実際の空間の x軸, y軸,
＞ z軸と関係があります。これは普通は、内部空間とはいわない気がします。(といって、
＞実際の空間とも言いませんが。敢えて言うなら、実際の空間に関連して定義される空間など
＞と言うんですかね。)
スピン空間 (SU(2))は、ユークリッド空間なのでしょうか？Sx, Sy, Szの他に、実際の空間
で存在する xy軸, yz軸, zx軸成分はないのでしょうか？
ないと考えられている場合、どのような本や文献を見れば、そのことを確かめられるでしょうか？

回答No.1

doc_somday

大学教授級の「回答者」がウジャウジャ居るこの掲示板で三日間もお答が付かないのは、明らかに「質問が理解出来ない」ことに帰します。

>素粒子論の内部空間と外部空間
この「概念」ないし「定義」はどこで「拾って来た」のでしょう。

文献の提示を求めます。

補足

たとえば、内部空間は、

核子の作る複素2次元ベクトル空間はアイソスピン空間と呼ばれる。 アイソスピン空間は普通の空間とは区別される内部空間の一つである。

と記載あります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BD%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%B3