内部直積と外部直積

質問

「内部直積と外部直積は同型のちがいを無視すれば同じ構造のものと
考えることができる」と本に載っていました。

同型の関係にあるのは分かるのですが、「同型のちがいを無視すれば
同じ構造のものと考えることができる」とは一体どういうことでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

handarin · ベストアンサー

「同系を無視すれば同じである」
群論に限らず数学全般で頻繁に登場する言葉ですが、
これは乱暴に言えば、「同じである」と言ってるに過ぎません。

例えば集合A={a,b}に演算*を
a*a=a,a*b=b,b*a=b,b*b=aと定義すれば、これは群になりますが
一方、B={0,1}に演算+を
0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0と定義した群
C={-1,1}に演算×を
1×1=1,1×-1=-1,-1×1=-1,-1×-1=1
と定義した群は
"単に表記が違うだけで"
群構造だけ見れば本質的に同じものだといえますよね？

お礼

納得できました。ありがとうございます。

回答No.2

arrysthmia

「同型のちがいを無視すれば同じ構造のものと考えることができる」とは、
要するに「同型である」ということです。

群 G が群 A と群 B の直積であることを表す式 G = A × B を、
既知の群 A, B から群 G を構成するものと見れば、× は外部直積と、
既知の群 G が部分群 A, B の積に分解されたと見れば、× は内部直積と
呼ばれます。 敢えて区別するのは、無用のコダワリです。

お礼

内部直積と外部直積の違いを言葉で言い表すとそうなるんですね。
ありがとうございました。