高校数学の斜め回転体の証明

質問

斜め回転体の証明なのですが、画像にある□PP'R'Rをlのまわりに回転した
体積がπRH^2×PP'になっていますが何故RHを掛けているのでしょうか

RPやR'P'では駄目なのでしょうか？　又□PP'R'Rをlのまわりに回転した

立体はどんな形ですか

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

＞何故RHを掛けているのでしょうか

RHでなくてRHの2乗ですよね。

半径rの円の面積はπr^2だから。
回転体の軸に垂直な断面の円
の半径がRHになっています。

少々くどい説明をすると、その回転
体の体積は半径RHの円を底面に
もつ高さPP'の円柱の体積に一致
します。

＞回転した
＞立体はどんな形ですか

添付画像参照。

お礼

御返答有難うございます

補足

御返答有難うございます、lのまわりに回転した回転体ってこんなコマみたいな形になるんですか？

円柱かと思っていました、正直何故このような形になるのかまだ良く分からないです、三角錐みたいなとんがった部分はどこを回転させてそうなっているのですか？

lに垂直な軸はRHなのは分かるのですが、高さがPP'になるのが、納得出来ないです、

R'からlに垂線を下ろした足をH'とするとR'H'も底面の半径になるんですよね？その時高さはPH'になるんですか？

>一旦削除して書きなおしたほうが

>一旦削除して書きなおしたほうが
もうひとつの質問は体積の問題だと思うのですが、問題文はあれで全てで解説もつまづくまで全部書いたのですが、必要なのは参考程度にある感じなのですが解説の画像でしょうか？

回答No.20

noname#199771

#17補足について。

＞π(cosθ)^2×Δx/cosθ=cosθπm^2Δxです

右辺は多分それでOKな気がする（そもそもm
が何なのか当方にははっきりわからない）
左辺は間違い。

だけど今までのあなたの書きぶりからすると
その計算がでてこないはずなんだけど。

”あなたは”どう計算したか聞いているんです
けどそれでいいなら今までのあなたの補足は
何だったのか。

＞解説に書いてある立体の体積がπRH^2×PP'
＞の事です
＞このπRH^2までは立体の底面積を求めている
＞んだなと分かります、
＞しかしこのPP'が高さの事だと思うのですが、こ
＞のPP'が高さになるというのが納得いかないの
＞です、高さはR'からlに引いた垂線の足をSとす
＞るとPSが高さとしか思えないのです

だからそれが等積変形で円柱の体積と同じと
言っているんだがあなたはそれをなぜか頑なに
受け入れようとしない。

＞それは回転体がどういうものか分かっている
＞立体の体積の積分です

という主張には到底ついていけない。こういうこと
書くべきかわからないけど精神障害でもあるんで
すか？

そして積分したいとあなたは言っているがその
やり方についても積分範囲について独自の主張
を強弁して受け入れようとしない。

#19の補足について。

PとP'と解答欄に書いたけど、それ以外の文字
すべてがわからんのですよ。mとかあと関数の
文字が全然みえない。だから

　　　　　す　　　　べ　　　　　て　　　　の

文字をきちっと定義してください。

これ以上この質問の回答受付を継続しますか？

基礎力が圧倒的に不足していて、あなたの実力
を大きく超えるであろう問題を5つくらい同時に
質問されているみたいだけど、ムリがあると思う。
多分小学校でやる図形の変形あたりから怪しい
のだと思う。

せめてやるなら1つの問題が完全に解決するまで
やりきって、その他の問題はその後に着手すべき
でしょ？

プライドがあるのか時期的にあせっているのか
よくわからないけど、こういうのはやめて基礎を
固める勉強の仕方に切り替えた方がいいと思う。

お礼

補足を書き終えた後なので、こちらに書きます、等積変形の考え方で高さがPP'になり立体の体積の求め方分かりました、後は積分で輪切りにしながら求めていく方法ですが、今回は必要ないようですし、これで納得できたということにします

補足

>右辺は多分それでOKな気がする（そもそもm
>が何なのか当方にははっきりわからない）
>左辺は間違い。
間違いなはずないですよ、解説に書いてあったことですよ
mはPRの長さです

>等積変形で円柱の>受け入れようとしない。
等積変形をどこを変形させて同じになるという風に聞かないと分からないです

>精神障害でもあるんで
>すか？
さすがにそこまで言われる筋合いはない、勉強が出来るからってちょっと偉そうなんじゃないですか？自分は丁寧に疑問点を書いているだけなのに

>そして積分したいとあなたは言っているがその
>やり方についても積分範囲について独自の主張
>を強弁して受け入れようとしない。
貴方はダメだ間違っていると書くだけで、正しい式を示してくださらない、自分が間違った式を書いたのは分かりますが、ならば正しい式を教えてください

>言っているんだがあなたはそれをなぜか頑なに

>す　　　　べ　　　　　て　　　　の

>文字をきちっと定義してください。
図の説明をするとまずx軸があります、そしてx軸と角度θをなす直線lがありましてx軸上の点x、x+Δxからx軸に垂線を引いて

lとの交点をP,P'とする、Pから上にx軸に垂直な線を引きPから距離mの点をR,P'からも上にx軸に垂直な直線を引きP'から

距離mの点をR'とするそうして出来た□PP'R'Rを直線lのまわりに回転させた回転体の体積が今求めたいものです

>これ以上この質問の回答受付を継続しますか？
勿論継続しますよ

>せめてやるなら1つの問題が完全に解決するまで
>やりきって、その他の問題はその後に着手すべき
>でしょ？
疑問は同時にたくさん出てくるので、同時に解決していきたいです

>こういうのはやめて基礎を
>固める勉強の仕方に切り替えた方がいいと思う。
これだけやってるわけじゃないんです、基礎や標準もやりつつやっていて疑問点が出た問題だけを質問してます

回答No.19

noname#199771

#18の補足。

＞ダメなのですか？

ダメです。

そういう疑問がでてくるということは、積分
というものがまるでわかっていないことに
なります。その割に積分にこだわるのが
理解に苦しむし。

これは想像ですが、#3の補足の最後に
書いてある積分と混同してませんか？
それで積分！積分！積分！とこだわり続ける？

そもそも質問文に貼り付けてある画像の
「証明」の部分の文字がよく見えないのです。

それで各文字が何なのか判読できない。
PとかP'とかが何なのかずっと想像で言って
いるのです。しかし未だに質問者からはっきり
した説明がない。

#2で問題文書いてくれと言ったのはそう
いうことも含みます。

お礼

御返答有難うございます

補足

>#3の補足の最後に
>書いてある積分と混同してませんか？
>それで積分！積分！積分！とこだわり続ける？
それは回転体がどういうものか分かっている立体の体積の積分ですね、それとは違うと思います、通常は問題では平面で切って円板を足しあわせていくのが殆どだと思うので、積分のやり方も知っておく必要があると思います

>そもそも質問文に貼り付けてある画像の
>「証明」の部分の文字がよく見えないのです。

そうだったんですね、PとかP'というのは最初に載せた画像でx軸上の点x,x+Δxからx軸に垂線を引いたときのlとの交点がそれぞれPとP'です、だからPとかP'というのはl上の点なのです

回答No.18

noname#199771

#16の補足。

＞l上の点PやP'は図を見る限りl軸はx軸と
＞θの角をなすのでpcosθ=xとかと置いた
＞のですが、これは駄目なんですか？

私が言っているのは積分変数のことです。
l上の変数をxとしてはいけません。

x軸やy軸とは全く別にl軸があるんですよ。
lの周りの回転体の体積を求めるならlに
沿った変数で積分しないとうまくいきません。

で、結局無意味な積分に戻したいんですか？
一体どうしたいんでしょう？

お礼

御返答有難うございます

補足

>私が言っているのは積分変数のことです。
>l上の変数をxとしてはいけません。
解説の図を見るとl上の点とx軸上の点は1対1に対応しているので、l上の点をx軸上の点で表したのですが、ダメなのですか？

>で、結局無意味な積分に戻したいんですか？
>一体どうしたいんでしょう？
自分では立てることが出来ないのでl軸に沿った積分の式を示していただきたいです

回答No.17

noname#199771

#15の補足について。

＞この立体の体積だと分かるのですが

あなたは「分かる」と書いてますが
具体的にどういう計算でどういう値に
なると考えているのですか？

＞PP'だと高さが足りなくないですか？

一体なんのお話？
「回転体の立体の高さ」とは何？
いろいろな話がごちゃまぜになって
何を言っているのかわかりません？

とにかく計算を書いてください。

お礼

御返答有難うございます

補足

>あなたは「分かる」と書いてますが
>具体的にどういう計算でどういう値に
>なると考えているのですか？
解説に書いてある立体の体積がπRH^2×PP'の事です
このπRH^2までは立体の底面積を求めているんだなと分かります、

しかしこのPP'が高さの事だと思うのですが、このPP'が高さになるというのが納得いかないのです、高さは

R'からlに引いた垂線の足をSとするとPSが高さとしか思えないのです、そこでPP'が高さになる理由を教えていただきたいです

>とにかく計算を書いてください

計算は最初の問題で書いた
π(cosθ)^2×Δx/cosθ=cosθπm^2Δxです

回答No.16

noname#199771

入れ子になって申し訳ないですが、
#13の補足についてです。

＞うーん、楕円ですか、積分はlでしようとして
＞PやP'等を使える文字x等に置き換えようと
＞しました

直線l上にとった変数はxとは別物なので
同じ文字を使うのはいけません。

違う文字を使いましょう。lでもuでもξでも
なんでもいいですけどxとかθとかすでに
使用済みのものでない文字です。

lは数字の1と紛らわしいので避けたほうが
よいかも。

お礼

御返答有難うございます

補足

>直線l上にとった変数はxとは別物なので
>同じ文字を使うのはいけません。
l上の点PやP'は図を見る限りl軸はx軸とθの角をなすのでpcosθ=xとかと置いたのですが、これは駄目なんですか？

回答No.15

noname#199771

＞半径の値としてもP～Hでは一次式、
＞H～P'では定数、P'～Sでは一次式
＞になるのが良く分からないです

#5の図をみてもわからない？
だったら積分はあきらめてください。
そもそも必要ないんだし。

＞ただその立体ですが、高さがPP'に
＞なるのが良く分からないです、R'から
＞lに引いた垂線の足をSとしてSPにな
＞るのなら分かるのですが

何をいってるのかわかりません。
「高さ」って何のことですか？

＞その体積を出した方が簡単なのは
＞分かりますよ

「分かる」とは？
分かるなら計算結果を示してください。

お礼

御返答有難うございます

補足

>#5の図をみてもわからない？
>だったら積分はあきらめてください。
>そもそも必要ないんだし。
確かに今回積分は必要ないですが、今後違う問題で切り口で考える時必要なので知っておきたいです、#5の図は見ましたがわからないです

>何をいってるのかわかりません。
>「高さ」って何のことですか？
回転体の立体の高さの事なのですが、半径はRHで高さがPP'で求めてました、のでこの高さがPP'じゃなくてR'からlに引いた垂線の足をSとしたときPSが高さならこの立体の体積だと分かるのですが、

PP'だと高さが足りなくないですか？Q'からlに引いた垂線の足とかも半径になるわけですから

回答No.14

noname#199771

ああ、そうか。#11で「被積分関数」と書いた
のは適切ではありませんでした。半径の値
とするべきでした。訂正します。

ところで#12の補足に
＞そちらで出した方が簡単なのは分かります
とあるのですが本当ですか？

お礼

御返答有難うございます

補足

>半径の値
>とするべきでした。訂正します。
半径の値としてもP～Hでは一次式、H～P'では定数、P'～Sでは一次式になるのが良く分からないです

>とあるのですが本当ですか？
はい、立体の形は分かっているわけですから、その体積を出した方が簡単なのは分かりますよ、ただその立体ですが、高さがPP'になるのが良く分からないです、R'からlに引いた垂線の足をSとしてSPになるのなら分かるのですが

回答No.13

noname#199771

＞そこで積分区間はl上の点PからP'なので

違うんだけどわかってもらえないのか。。。

PからP'までにしてしまうと、P'から線分RR’
へおろした垂線の足からR'までの部分が
余ってしまいますよ。直線lに垂直な平面
で輪切りにすると円環（円環ってわかります？）
になる部分のことです。

直線lと線分R'P'とは垂直でないということが
どうしても受け入れられないみたいですけれ
ど、なぜなんでしょう？

＞これをx軸上だとxからx+Δxですから

こう考えるのがおかしい。
この方法だとx軸に垂直な平面で輪切りにした
断面が円になりません。楕円になるので異様に
複雑になります。xで積分してはいけないのです。

#4の後半に書いたようにlを水平にしたときに
PRR'P'がどうなるか確かめて見ましたか？
あなたの主張によるとR'P'が鉛直線上にある
ことになってしまいますけどそれはおかしいこと
に気づいてください。とにかく図を描いてください。

お礼

御返答有難うございます

補足

>PからP'までにしてしまうと、P'から線分RR’
>へおろした垂線の足からR'までの部分が
>余ってしまいますよ
確かにそうですね、R'からlに引いた垂線の足をSとしてPからSまでを積分区間と考えても駄目ですか？でもその場合Sを使える文字xやx+Δxで表せないからダメですね

>直線lに垂直な平面
>で輪切りにすると円環（円環ってわかります？）
>になる部分のことです。
もちろんわかりますよ

>直線lと線分R'P'とは垂直でないということが
>どうしても受け入れられないみたいですけれ
>ど、なぜなんでしょう？
もちろんR'P'とlは垂直でないのはわかりますよ

>この方法だとx軸に垂直な平面で輪切りにした
>断面が円になりません。楕円になるので異様に
>複雑になります。xで積分してはいけないのです。
うーん、楕円ですか、積分はlでしようとしてPやP'等を使える文字x等に置き換えようとしました

>後半に書いたようにlを水平にしたときに
>PRR'P'がどうなるか確かめて見ましたか？
ｌに平行四辺形が傾いてひっついてる形ですね

>とにかく図を描いてください。
勿論何回も書いてますが、まだ分かってこないです

回答No.12

noname#199771

＞>（１）P～Hでは被積分関数が一次式
＞>（２）H～P'では被積分関数が定数
＞>（３）P'～Sでは被積分関数が一次式（定数－一次式）
＞まず(1)は三角形PHRの面積ですか？

面積じゃないです。体積の計算を積分を
つかって計算しようとしているのですよね？

＞(2)は台形HP'R'R
＞(3)は三角形P'SR'ということですか？

そもそもそういう認識でどうやって積分しようと
思ったのですか？

#5の図を水平に切ると円環または円盤に
なるのでその面積に縦の軸（直線l）の微小
部分を掛けて積分しないと体積はでませんよ。

そもそも積分する必要ないんですけど
あなたが積分にこだわるならの話。

お礼

御返答有難うございます

補足

>つかって計算しようとしているのですよね？
はい、勿論体積です、うーん、P～Hでは被積分関数が一次式
とかH～P'では被積分関数が定数とかP'～Sでは被積分関数が一次式が何でそうなるのか分からないです、もう少し詳しく宜しくお願いします

>図を水平に切ると円環または円盤に
>なるのでその面積に縦の軸（直線l）の微小
>部分を掛けて積分しないと体積はでませんよ。
はい、そこで積分区間はl上の点PからP'なので、これをx軸上だとxからx+Δxですから、この値を使ってP,
P'を表すと、それぞれx/cosθ,(x+Δx)/cosθになります、後はl=H(Hは変数)で切った円板を足しあわせていきました

>そもそも積分する必要ないんですけど
>あなたが積分にこだわるならの話。
勿論回転体の立体がわかっているわけですから、そちらで出した方が簡単なのは分かりますが、積分して出す方法も知っておきたいです

回答No.11

noname#199771

＞場合分けですか、どこで発生するの
＞ですか？

#5の回答に貼り付けた画像を見てますか？
（１）P～Hでは被積分関数が一次式
（２）H～P'では被積分関数が定数
（３）P'～Sでは被積分関数が一次式（定数－一次式）
　　（Sについては#10参照）

＞自分が出来たのは

そこに書かれている内容は理解不能。

被積分関数は定数ではなく上記（１）～（３）
のような複雑な形です。

そういうのを処理するのは面倒だから
円柱に等積変形したらいいのにと思うけど、
まあやってみてくださいな。

お礼

御返答有難うございます

補足

>（１）P～Hでは被積分関数が一次式
>（２）H～P'では被積分関数が定数
>（３）P'～Sでは被積分関数が一次式（定数－一次式）
まず(1)は三角形PHRの面積ですか？(2)は台形HP'R'R
(3)は三角形P'SR'ということですか？