高校数学 体積 最大値

質問

原点を通る直線でx軸と角θで交わるものをl[θ]とする　

ここで角θは0<θ<π/2をみたし、かつl[θ]円C[1],C[2]と交わらないような範囲を動くものとする　

また円C[1],C[2]をl[θ]の回りに1回転して得られる立体の体積を、それぞれV1[θ],V2[θ]とする　

(1)V1[θ],V2[θ]をθを用いて表せ
(2)V1[θ]+V2[θ]の最大値を求めよ

解説の円C[1]の中心(2,0)とl[θ]との距離は2sinθ

よってV1[θ]は円C[1];x^2+(y-2sinθ)^2=1をx軸のまわりに1回転した回転体の体積に等しいからとあるのですが

距離は2sinθまで分かるのですが、そこから何故

V1[θ]が円C[1];x^2+(y-2sinθ)^2=1をx軸のまわりに1回転した回転体の体積になるのか分かりません

同様に円C[2]の中心(4,0)とl[θ]との距離が4sin(π/2-θ)で

そこからV2[θ]が16πsin(π/2-θ)×π/2×(1/2)^2の式が出てくるのか分かりません、多分円V1[θ]のケースと同じだと思うので、そちらが解決したら分かりそうだと思います

回答No.5

yyssaa · ベストアンサー

補足に対する回答
>上側の部分をx軸のまわりに1回転した回転体は、最大直径が>2sinθ+1で
上側をx軸に回りに回すと半径2sinθの円板になりませんか？
＞失礼。最大直径は最大半径の誤り。
上側のy座標はy=√(1-x^2)+2sinθだから半径2sinθの円板になるのはx=±1のとき。
x=0では最大半径2sinθ+1になり、回転体の体積は、これらの円板をx=-1からx=1まで
重ね合わせたものだからπ∫[-1→1]{√(1-x^2)+2sinθ}^2dxとなる。
　上側の部分をx軸のまわりに1回転した回転体は、y=√(1-x^2)+2sinθ、x軸、
直線x=-1、直線x=1で囲まれた平面図形をx軸のまわりに1回転したときに出来る
立体である。

下側も同様。

なお、a≦x≦bでy(x)＞0の任意の曲線と、X軸、直線x=a、直線x=bで囲まれる図形を
x軸を中心に1回転して出来る立体の体積はπ∫[a→b]y(x)^2dxとなる。

お礼

御返答有難うございます

補足

>x=0では最大半径2sinθ+1になり
x=0の時最小半径になるんじゃないんですか？

最小半径2sinθ-1ですよ、半径って円はlがx軸に移ってその下側にありますから上側のx=0の所とlとの距離は2sinθ-1ですよね？

これが半径になるんじゃないんですか？　また下側の円の半径はx=0で最大半径2sinθ+1になります、だから下側の円をx軸のまわりに回転させた立体の体積から上側の円をx軸のまわ

りに回転させた立体の体積が求める円をx軸のまわりに回転させた体積になるんじゃないですか？

回答No.4

yyssaa

補足に対する回答

>その円の中心をy軸上におけば、その方程式はx^2+(y->2sinθ)^2=1となる。
l[θ]をx軸に見たとき何故円c[1]の中心がy軸上にあることに出来るんですか？
＞円c[1]の中心がx軸から2sinθ離れていれば(すなわち円c[1]の中心の
y座標が2sinθであればx座標がどこであっても)x軸のまわりに1回転した
回転体の体積は変わらないので、計算がし易いように円c[1]の中心をy軸上(x=0)
としている。

それとV1[θ]はπ∫[-1→1][{√(1-x^2)+2sinθ}^2}-(-√(1-x^2)+2sinθ)^2]dxと
なっていたのですが、この計算からV1[θ]が求まるのが分からないです
{√(1-x^2)+2sinθ}^2は円C[1]の上側の部分で(-√(1-x^2)+2sinθ)^2が下側の部分
というのは分かるのですが
＞円C[1]の上側の部分をx軸のまわりに1回転した回転体は、最大直径が2sinθ+1で
厚さが2の円盤であり、その体積がπ∫[-1→1]{√(1-x^2)+2sinθ}^2dx、
円C[1]の下側の部分をx軸のまわりに1回転した回転体は、最小直径が2sinθ-1で
厚さが2の円盤になり、その体積がπ∫[-1→1]{-√(1-x^2)+2sinθ}^2dx。
大きい円盤から小さい円盤を切り取った残りが円c[1]をx軸のまわりに1回転した
回転体である。
　なお、回答(3)の参照サイトの図が分かり易い。

お礼

補足を書いた後に気づいたので、こちらに書きます

V1-V2になるのが納得できなかったのですが、こういう事ですか、まずｌをx軸に移す、つまり角θ回転させると、

円C1もlと同じ角θだけ回転します　この時円C1はl、つまりx軸より下側にあります　回転体の体積は平行移動させても

同じなので、円C1をy軸上に持っていき、さらにx軸に関して対称移動させてx軸より上側に持っていったわけですね、

これをx軸のまわりに回転させると確かにV1-V2になりますね、角θ回転した円C1がx軸より下側だと思っていたから疑問

に思っていたわけです、因みにx軸より下側で考えようとしたら円C1をx^2+(y+2sinθ)^2=1とすればうまくいきますね、考え方は合ってますか？

補足

>回転体の体積は変わらないので、計算がし易いように円c

>[1]の中心をy軸
分かりました、有難うございます

>上側の部分をx軸のまわりに1回転した回転体は、最大直径が>2sinθ+1で
上側をx軸に回りに回すと半径2sinθの円板になりませんか？

下側が半径2sinθ+1の円板だと思うのですが、中心からx軸までの距離が上側で2sinθ,下側で2sinθ+1ですから

回答No.3

yyssaa

V1[θ]が円C[1];x^2+(y-2sinθ)^2=1をx軸のまわりに1回転した回転体の体積になるのか分かりません
＞l[θ]をx軸と考えれば、円C[1]はx軸から2sinθ離れた点を中心とする半径1の円
だから、その円の中心をy軸上におけば、その方程式はx^2+(y-2sinθ)^2=1となる。

同様に円C[2]の中心(4,0)とl[θ]との距離が4sin(π/2-θ)で
そこからV2[θ]が16πsin(π/2-θ)×π/2×(1/2)^2の式が出てくるのか分かりません、
＞l[θ]をx軸と考えると、円C[2]の中心(4,0)とx軸との距離は4sin(π/2-θ)だから、
中心が(0,4sin(π/2-θ))で半径1/2の円の方程式はx^2+{y-4sin(π/2-θ)}^2=1/4
すなわちx^2+{y-4cosθ)}^2=1/4となり、これをx軸を中心に1回転した回転体の体積が
V2[θ]となる。
ドーナッツ形状の体積の計算は下記サイトが分かり易い。
http://www.eisaijuku.join-us.jp/donut-keijou-taiseki-hyoumenseki.html

お礼

御返答有難うございます

補足

>その円の中心をy軸上におけば、その方程式はx^2+(y->2sinθ)^2=1となる。
l[θ]をx軸に見たとき何故円c[1]の中心がy軸上にあることに出来るんですか？それとV1[θ]はπ∫[-1→1][{√(1-x^2)+2sinθ}^2}-(-√(1-x^2)+2sinθ)^2]dxとなっていたのですが、この計算からV1[θ]が求まるのが分からないです

{√(1-x^2)+2sinθ}^2は円C[1]の上側の部分で(-√(1-x^2)+2sinθ)^2が下側の部分というのは分かるのですが

回答No.2

naniwacchi

回転軸であるL[θ]がx軸に一致するように回転させた。つまり、-θ回転させたと考えればよいかと。

お礼

御返答有難うございます

回答No.1

transcendental

２つの円の定義がありません。

補足

すいません、問題が途中からになっていました、抜けている部分を最初から書きますね

xy平面上に点(2,0)を中心とする半径1の円C[1]と点(0,4)を中心とする半径1/2の円C[2]がある、までです、よろしくお願いします