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高校数学の斜め回転体の証明
斜め回転体の証明なのですが、画像にある□PP'R'Rをlのまわりに回転した 体積がπRH^2×PP'になっていますが何故RHを掛けているのでしょうか RPやR'P'では駄目なのでしょうか？ 又□PP'R'Rをlのまわりに回転した 立体はどんな形ですか
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＞何故RHを掛けているのでしょうか RHでなくてRHの2乗ですよね。 半径rの円の面積はπr^2だから。 回転体の軸に垂直な断面の円 の半径がRHになっています。 少々くどい説明をすると、その回転 体の体積は半径RHの円を底面に もつ高さPP'の円柱の体積に一致 します。 ＞回転した ＞立体はどんな形ですか 添付画像参照。
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＞高さがPP'になるのがまだ納得でき ＞ないんですよ だったら円柱への等積変形なんか 考えないでR'から直線lにおろした 垂線の足をSとでもしてPからSまで の積分をしてみたらいかがですか？ 積分お好きみたいなので。 場合分けが必要になりますが大した 計算ではないのでやってみてください。 納得出来ないのは等積変形が理解 できてないからだと思います。 あたなは私がいう等積変形をどのよう に理解してたのかわかりませんけど。
お礼
御返答有難うございます
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>場合分けが必要になりますが大した >計算ではないのでやってみてください。 場合分けですか、どこで発生するのですか？ それと実際計算しようとしたら上手くいかないんですが、計算の方も教えていただけませんか？ 自分が出来たのは∫[p→p']π×RH^2dlからRHがmcosθでPとP'を lcosθがxだからlにpとP'を代入してx=pcosθ、x＋Δx=p'cosθでlcosθ=xの両辺をlで微分してcosθ=dx/dlになってdl=dx/cosθになって ∫[pcosθ→p'cosθ]π(mcosθ)^2×1/cosθ×dx＝ π×m^2×cosθ(p'cosθ-pcosθ)=m^2cosθ×Δxとなりました 合ってますか？
＞では、こちらの立てた式は合って ＞いるのですね さあ、どうでしょう？ その積分が結局円柱の体積になる ことは確かめましたか？ あなたが納得すればそれでいいです。 正しいかどうかは回答者による権威付け ではなくてあなたが確認することなので。
お礼
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>その積分が結局円柱の体積になる >ことは確かめましたか？ 円柱というか先が尖った三角形みたいになっていて底面が円みたいな円柱ですよね、あの立体の底面の半径がRHは分かったんですが、高さがPP'になるのがまだ納得できないんですよ R'からlに引いた垂線とlの交点とPまでの長さが高さになると思うんです、だったR'からｌに引いた垂線とlとの交点とR'の長さは半径になってますしね
＞ですから今回自分が立てた積分の ＞式がどこが違うのか知りたいです そうですか。 どのみち結果は同じになるはずなのに あなたは違うとおっしゃるのはどの点 のことなんでしょう？ その積分を実行したらどうなったのでしょう？ ・あなたの計算結果 ・「答え」とやらの結果 ・どう違うとあなたは考えているのか
お礼
御返答有難うございます
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>どのみち結果は同じになるはずなのに >あなたは違うとおっしゃるのはどの点 >のことなんでしょう？ では、こちらの立てた式は合っているのですね 解説の式と違う気がして間違っているのだと思いました
＞回転体の体積を∫[p→p']RH^2dl ＞で出そうとしましたが なぜ積分したいんでしょう？ 等積変形して円柱の体積を計算すれば 済むことですよね。 もしかして、今までの議論が等積変形 を使っているということを認識されて いない？ で、そもそも「答え」とは違うのですか？
お礼
御返答有難うございます
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>等積変形して円柱の体積を計算すれば >済むことですよね。 回転後の立体がどういう形になるか分かったので、勿論その方法で出すのが簡単で分かりますが、良く問題解くときは立体がどんな形か分からないときは平面で切って積分して出しますから今回もその出し方も知りたかったのです ですから今回自分が立てた積分の式がどこが違うのか知りたいです
＞計算式が答えと違う事になって ＞しまいます どう違うのでしょうか？ 「計算式」と「答え」を両方書いて みてください。
お礼
御返答有難うございます
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>「計算式」と「答え」を両方書いて >みてください。 回転体の体積を∫[p→p']RH^2dlで出そうとしましたが、答えと計算式が違います
＞下の底面が円になるのはわかり ＞ずらいですね 円というか、漏斗みたいな形。 ＞これは何故そう言えるのですか なぜわからないのかわからないんですが。 PQとlとの角度は直角ではないですよ？ ＞RHが円板の半径になるのが分から ＞ないです それはおかしい。もし分からないなら 平行四辺形の面積の計算ができないはず。 点Rと直線lとの距離はRHでないとお考え なのですか？ lを水平にした図をノートに手で描いて みましたか？PRR'P'がナナメに傾く 様子がわかりませんか？ さっき割り箸で作ったものを机の上に 置いてみて理解できませんか？ #1添付の右側の図を再掲しました。
お礼
御返答有難うございます
補足
>なぜわからないのかわからないんですが。 >PQとlとの角度は直角ではないですよ？ 勿論それは分かりますよ例えばRはHからlに垂直な直線と□PP'R'Rとの交点ですね、こういう風にPからP'までlに垂直な線を引い□PP'R'Rとの交点を考えてHの場合がRHだったようにRHを半径と見て円板をPからP'まで他し合わせていくということですが計算式が答えと違う事になってしまいます >点Rと直線lとの距離はRHでないとお考え >なのですか？ いえ点Rとlとの距離はRHですよ 添付の右側の図を見て 立体の半径がRHになるのが理解できました
＞手で何回まわしてもそれが立体でどう ＞なってるか分からないです う～ん、困りましたねぇ。 話がそれてしまいますけど、割り箸を一本 用意し、平行四辺形に切った厚紙を用意し ます。平行四辺形の一辺がぴったり割り箸 にくっつくようにして（のりしろをつかうとよい） みます。竹とんぼ（ってご存知？）を飛ばす 要領で割り箸をよじり合わせるようにする とその立体が見えます。 ＞PからP'まで円板を足しあわせていくと ＞π∫[p→p'](RH)^2dlになりませんか？ 角度θ傾いた直線に沿ってですよね？ PからはじまってHに至るまでがそもそも 定数になりませんけど？x軸とl軸がごっちゃ になってますね。 そうだなぁ。グラフを自分の手でノートに 書いてみましたか？図形の問題は自分で 図を書かないとわかるようになりません。 l軸を水平になるようにしてx軸がナナメに なるような図を書いてみたらイメージできる んじゃないだろうか。 ＞PP'R'Rの面積は平行四辺形ですが平 ＞行四辺形って今回の場合PP'×R'P'じゃ ＞駄目でしたか 何を言っているのかわかりません。 辺の長さa,bの平行四辺形の面積がab だとおっしゃる？
お礼
御返答有難うございます
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>割り箸をよじり合わせるようにする >とその立体が見えます。 箸に貼ってやってみましたよ、確かになりますね、とんがった部分は分かりましたが、 下の底面が円になるのはわかりずらいですね、それとこの図形をl(θ)を含む平面で切った切り口が立方体みたいになってますが、こちらも何故あのような形になるのか分からないです >PからはじまってHに至るまでがそもそも >定数になりませんけど？ これは何故そう言えるのですか？l軸上の点PからP'までlに垂直な直線と□PP'R'Rとの交点とl上の点を半径とする円板を PからP'まで積分していったら体積になるかと思ったのですが、計算は違うようですし、分からないです >a,bの平行四辺形の面積がab 平行四辺形の面積はaとbの間の角をθとするとabsinθと表せるのは知ってるんですが、今回立体がどうなるか分かったわけですが、RHが円板の半径になるのが分からないです
＞円柱かと思っていました、正直何故このような形 ＞になるのかまだ良く分からないです、三角錐みた ＞いなとんがった部分はどこを回転させてそうなっ ＞ているのですか？ 回転軸が傾いているからですよ。 どうしてもわからないなら紙に書いて ハサミで切って確かめてみてください。 ＞高さがPP'になるのが、納得出来ないです、 平行四辺形の面積の求め方と同じです。 あれは底辺×高さであって、平行四辺形 の底辺に平行な軸への射影の長さでは ありません。 ＞体積の問題 円C[1],C[2]というのが何なのかどこにも 書かれていません。 その質問もこの質問もどちらも問題文 がどこにも書かれていません。 問題文を書いてください。
お礼
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>回転軸が傾いているからですよ。 >どうしてもわからないなら紙に書いて >ハサミで切って確かめてみてください。 やってみたんですが、手で何回まわしてもそれが立体でどうなってるか分からないです >平行四辺形の面積の求め方と同じです。 >あれは底辺×高さであって、平行四辺形 >の底辺に平行な軸への射影の長さでは 積分で考えてみたいです、平面l=tで切ると考えて PからP'まで円板を足しあわせていくとπ∫[p→p'](RH)^2dlになりませんか？ これが自分が思う回転体の体積なんですが PP'R'Rの面積は平行四辺形ですが平行四辺形って今回の場合PP'×R'P'じゃ駄目でしたか >円C[1],C[2]というのが何なのかどこにも >書かれていません。 すいません、よく見たら体積の問題は問題文が途中からになっていました、書き直します こちらの問題文は問題というより 曲線C:y=f(x)とy=l(x) とで囲まれた図形Dを直線lのまわりに1回転してできる回転体の体積Vはlとx軸のなす角をθ(0<θ<π/2)とすると V=cosθ∫[a→b]π{f(x)-l(x)}^2dxという事実を証明する問題です もうこの問題の画像は載せれないので無理ですが
あ、あと#1は超能力を使って不明な 情報を推測したものです。 質問する場合は問題文をきっちり 書いてください。そうしないと回答者 に伝わらないので。 ・問題文を書く（横着してデジカメで 撮影された写真を添付する人が すごく多いけど判読できるのはまれ なので全部タイプするのが原則） ・本に載ってる該当箇所を書く ・自分でどう考えたか書く というわけで、もう一つの質問は 一旦削除して書きなおしたほうが いいですよ。
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