重心の運動

質問

破裂するボールを真上に投げることを考える。
Aさんが真上に投げ、空中でボールが質量m1=0.4kg,m2=0.2kgの2つの小片に破裂した。
この2つの小片は同時に地面に落ちた。
質量m1の小片は、Aさんの左3mの位置に落ちた。
質量m2の小片は、Aさんの右何mの位置に落ちたか？
重心の運動を考えることによって求めよ。

重心の運動を考えるので、ベクトルを使うと思うのですがよくわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.1

noname#212313 · ベストアンサー

破裂前後の水平方向の運動量を考えればいいのです。垂直に投げ上げたのですから、水平方向は最初は速度0で、二つに分裂したm1がv1、m2がv2の速度を得たとします。

　運動量は外から力を加えない限りトータルは変化しません。破裂は物体内部の力で起こるものですから、外からの力はありません。だから、次の式が成り立ちます。

　(m1+m2)・0＝m1v1＋m2v2
∴m1v1＋m2v2＝0
∴v2＝-(m1/m2)v1
∴v2＝-2v1　（m1=0.4kg,m2=0.2kgを代入しましたが、質量の比さえ分かればよかったわけです）

　m2の速度はm1の2倍ですね。そして落ちるまでの時間はm1とm2で同じです（※垂直方向の運動は質量に関係ないことを思い出しましょう）。

　もう暗算できるほどですが、それでも一応、破裂してから落ちるまでの時間をtとして式で確かめます。

　v1t＝3　∴t=3/v1
　v2t＝-2v1・3/v1＝-6

　m2は3mの2倍、6mの距離に落ちます。方向はマイナス符号から、m1と反対方向、つまり右であることも分かります。

　答：右6mに落ちた。

お礼

問題文に「重心の運動を考えることによって求めよ。」とあるので、運動量保存ではなく、重心の運動で解いてくれるとありがたいです。

回答No.2

noname#212313

#1です。

>運動量保存ではなく、重心の運動で解いてくれるとありがたいです。

　実はそれが先の運動量保存に入っているのです。でも明示的ではなかったですね。今度は重心を明示してみます。

　破裂では外から力が働いていないので、重心は動きません（これが実は先の回答の運動量保存での確認に含まれている）。

　したがって、破裂後もずっと重心はAさんに真上に放り投げた位置にあります。地面に落ちたm1、m2を一つの系としてみたときの重心がAさんの位置にあるのだから、Aさんの位置を支点とし、地面のm1、m2を左右の皿とする天秤が釣り合っていることになります。従ってm2がAさんの右xメートルに落ちたのなら、以下の式が成り立ちます。

　xm2＝3m1
∴x＝3m1/m2＝3×0.4/0.2＝6（m）

P.S.

　天秤としていますが、天秤で働いている力のトルクの考え方を使っています。よく目にする二物体の重心位置の公式と異なっていますが、座標系が違うためで、上記は終始移動しない重心位置を原点にしているから、このように簡単になるのです。

　これは「重心系」と呼ばれる見方です。幸いなことに、この設問では「実験室系」と呼ばれる、見ている人（設問ではAさん）基準の座標系と一致しています。

　先ほどの解き方にせよ、こちらにせよ、破裂によって破片に与えられる速度は水平でないといけません。斜めだと解けません（落下に要する時間がm1とm2で異なってしまうため）。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。