重心の運動

質問

質量ｍ、２ｍの質点が、自然長ｌ、ばね定数ｋのばねで接続されている。
この一連の物体が振動しながら並進運動している時、重心の速度を求めよ。
ただし、質量ｍの質点の位置はｘ１、２ｍはｘ２、重心はｘ３とする。
(右向き正の一次元運動とし、x1<x2)
という問題です。以下微分は’で表現します。

重心座標　ｘ３＝(mx1 + 2mx2)/(3m)
換算質量　μ＝2m^2/3m
ばねの伸び　d=x2-x1-l
だと思うのですが、重心の運動方程式は
μx3''=-kd
でしょうか？仮にこれの場合、積分定数をv0として、
重心速度　v=x3'=(-kd/μ)t + v0
となるのでしょうか？
重心などの２体問題が非常に苦手で、どう解いていいのか混乱してしまいます。

この場合、重心に直接働く力は無いと思うのですが、運動方程式に書く場合はどうすればよいのでしょう？２つの質点に働く力の合計でしょうか？(それだと異符号かつ絶対値同じで０になる気がしますので、上の解答では-kdだけ書きましたが・・・。)
また、質量は換算質量でよいのでしょうか？それとも全質量でしょうか？

ご教授の程、よろしくお願い致します。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

重心の運動方程式における座標はもちろん質問の中にある
　「重心座標　ｘ３＝(mx1 + 2mx2)/(3m)」
ですね。結果的に/3はなくても同じですが。
また，相対変位はふつう 自然長をLとして，
　X2 = x2 - x1 - L = d
にとります。
すると相対運動の運動方程式は，
　μX2'' = - kX2, μ=2m/3
となります。

もう少し一般化した運動方程式を立ててみましょう。
簡単に質点m1，m2が相互作用fを及ぼしあって，外力ゼロとします。
m1について：m1x1'' = f
m2について：m2x2'' = -f
辺々加えて　m1x1''+m2x2'' = 0
これが重心の運動方程式ですが，これは
　M X'' = 0　　M=m1+m2 ,X=(m1x1+m2x2)/M
と書くことによって一層その意味がはっきりします。
これは，外力0の場合積分して運動量保存則になることに注意
しましょう。重心の等速度運動は，系の運動量保存則と同値です。
一方，上２式からx=x1-x2（もちろんx2-x1でもよい）を座標
（1，2の相対座標）とする運動方程式をつくれば，
　μx'' = f　　1/μ = 1/m1 + 1/m2　，x=x1-x2
となり，ここに出てくるμなるものが換算質量というわけです。
これを相対運動の（相対座標についての）運動方程式といいます。
x1，x2の運動方程式は，一般に連立微分方程式になりますが，
X，xの運動方程式は相互に座標が入り込まないそれぞれに独立した
微分方程式になるため，比較的簡単に解けるわけです。

お礼

返事が遅くなってしまい申し訳ありません。
丁寧なご解答ありがとうございます。

おかげさまでなんとかこの壁を越えられそうです。

私もいつかは物理を教えられるようになりたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

yokkun831

重心の運動方程式というのは，系を１体としてまとめたものの
運動方程式ですから，換算質量ではなく合計質量を用います。
外力ゼロならば当然右辺はゼロで，結果は等速度運動です。
換算質量は，２体の相対変位に関する運動方程式に用いるものです。
いずれにせよ，一度２体のそれぞれについてしっかり運動方程式を
書かれることをおすすめします。両者から重心の変位がしたがう
運動方程式と，相対変位がしたがう運動方程式とが導かれます。
これは単に微分方程式の簡単な変数変換の問題です。
この作業を一度しっかりやっておくと自信がつきますよ。

補足

ご解答ありがとうございます。

mx1''=kd -(1)
2mx2''=-kd -(2)
これらから2つの方程式を得るということは、

(1)＋(2)より
m(x1''+2x2'')=0 (重心の変位が従う運動方程式)
(1)-(2)より
m(x1''-2x2'')=2kd (相対変位が従う運動方程式)
ということでしょうか？

変数変換というのは、左辺()内を新たな変数Xに置き換えるということで、この場合だと、
X1''=x1''+2x2''
X2=x1''-2x2''
X1:重心の変位　　　　　　X2：相対変位
となり、この問題の解答は、X1'=v0 (v0:積分定数)
であっているでしょうか？