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重心の運動

質量m、2mの質点が、自然長l、ばね定数kのばねで接続されている。 この一連の物体が振動しながら並進運動している時、重心の速度を求めよ。 ただし、質量mの質点の位置はx1、2mはx2、重心はx3とする。 (右向き正の一次元運動とし、x1<x2) という問題です。以下微分は’で表現します。 重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m) 換算質量 μ=2m^2/3m ばねの伸び d=x2-x1-l だと思うのですが、重心の運動方程式は μx3''=-kd でしょうか?仮にこれの場合、積分定数をv0として、 重心速度 v=x3'=(-kd/μ)t + v0 となるのでしょうか? 重心などの2体問題が非常に苦手で、どう解いていいのか混乱してしまいます。 この場合、重心に直接働く力は無いと思うのですが、運動方程式に書く場合はどうすればよいのでしょう?2つの質点に働く力の合計でしょうか?(それだと異符号かつ絶対値同じで0になる気がしますので、上の解答では-kdだけ書きましたが・・・。) また、質量は換算質量でよいのでしょうか?それとも全質量でしょうか? ご教授の程、よろしくお願い致します。

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重心の運動方程式における座標はもちろん質問の中にある  「重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)」 ですね。結果的に/3はなくても同じですが。 また,相対変位はふつう 自然長をLとして,  X2 = x2 - x1 - L = d にとります。 すると相対運動の運動方程式は,  μX2'' = - kX2, μ=2m/3 となります。 もう少し一般化した運動方程式を立ててみましょう。 簡単に質点m1,m2が相互作用fを及ぼしあって,外力ゼロとします。 m1について:m1x1'' = f m2について:m2x2'' = -f 辺々加えて m1x1''+m2x2'' = 0 これが重心の運動方程式ですが,これは  M X'' = 0  M=m1+m2 ,X=(m1x1+m2x2)/M と書くことによって一層その意味がはっきりします。 これは,外力0の場合積分して運動量保存則になることに注意 しましょう。重心の等速度運動は,系の運動量保存則と同値です。 一方,上2式からx=x1-x2(もちろんx2-x1でもよい)を座標 (1,2の相対座標)とする運動方程式をつくれば,  μx'' = f  1/μ = 1/m1 + 1/m2 ,x=x1-x2 となり,ここに出てくるμなるものが換算質量というわけです。 これを相対運動の(相対座標についての)運動方程式といいます。 x1,x2の運動方程式は,一般に連立微分方程式になりますが, X,xの運動方程式は相互に座標が入り込まないそれぞれに独立した 微分方程式になるため,比較的簡単に解けるわけです。

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質問者からのお礼

返事が遅くなってしまい申し訳ありません。 丁寧なご解答ありがとうございます。 おかげさまでなんとかこの壁を越えられそうです。 私もいつかは物理を教えられるようになりたいと思います。 ありがとうございました。

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その他の回答 (1)

  • 回答No.1

重心の運動方程式というのは,系を1体としてまとめたものの 運動方程式ですから,換算質量ではなく合計質量を用います。 外力ゼロならば当然右辺はゼロで,結果は等速度運動です。 換算質量は,2体の相対変位に関する運動方程式に用いるものです。 いずれにせよ,一度2体のそれぞれについてしっかり運動方程式を 書かれることをおすすめします。両者から重心の変位がしたがう 運動方程式と,相対変位がしたがう運動方程式とが導かれます。 これは単に微分方程式の簡単な変数変換の問題です。 この作業を一度しっかりやっておくと自信がつきますよ。

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質問者からの補足

ご解答ありがとうございます。 mx1''=kd -(1) 2mx2''=-kd -(2) これらから2つの方程式を得るということは、 (1)+(2)より m(x1''+2x2'')=0 (重心の変位が従う運動方程式) (1)-(2)より m(x1''-2x2'')=2kd (相対変位が従う運動方程式) ということでしょうか? 変数変換というのは、左辺()内を新たな変数Xに置き換えるということで、この場合だと、 X1''=x1''+2x2'' X2=x1''-2x2'' X1:重心の変位      X2:相対変位 となり、この問題の解答は、X1'=v0 (v0:積分定数) であっているでしょうか?

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