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重心の運動

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お礼率 48% (17/35)

質量m、2mの質点が、自然長l、ばね定数kのばねで接続されている。
この一連の物体が振動しながら並進運動している時、重心の速度を求めよ。
ただし、質量mの質点の位置はx1、2mはx2、重心はx3とする。
(右向き正の一次元運動とし、x1<x2)
という問題です。以下微分は’で表現します。


重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)
換算質量 μ=2m^2/3m
ばねの伸び d=x2-x1-l
だと思うのですが、重心の運動方程式は
μx3''=-kd
でしょうか?仮にこれの場合、積分定数をv0として、
重心速度 v=x3'=(-kd/μ)t + v0
となるのでしょうか?
重心などの2体問題が非常に苦手で、どう解いていいのか混乱してしまいます。


この場合、重心に直接働く力は無いと思うのですが、運動方程式に書く場合はどうすればよいのでしょう?2つの質点に働く力の合計でしょうか?(それだと異符号かつ絶対値同じで0になる気がしますので、上の解答では-kdだけ書きましたが・・・。)
また、質量は換算質量でよいのでしょうか?それとも全質量でしょうか?


ご教授の程、よろしくお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 74% (673/907)

重心の運動方程式における座標はもちろん質問の中にある
 「重心座標 x3=(mx1 + 2mx2)/(3m)」
ですね。結果的に/3はなくても同じですが。
また,相対変位はふつう 自然長をLとして,
 X2 = x2 - x1 - L = d
にとります。
すると相対運動の運動方程式は,
 μX2'' = - kX2, μ=2m/3
となります。

もう少し一般化した運動方程式を立ててみましょう。
簡単に質点m1,m2が相互作用fを及ぼしあって,外力ゼロとします。
m1について:m1x1'' = f
m2について:m2x2'' = -f
辺々加えて m1x1''+m2x2'' = 0
これが重心の運動方程式ですが,これは
 M X'' = 0  M=m1+m2 ,X=(m1x1+m2x2)/M
と書くことによって一層その意味がはっきりします。
これは,外力0の場合積分して運動量保存則になることに注意
しましょう。重心の等速度運動は,系の運動量保存則と同値です。
一方,上2式からx=x1-x2(もちろんx2-x1でもよい)を座標
(1,2の相対座標)とする運動方程式をつくれば,
 μx'' = f  1/μ = 1/m1 + 1/m2 ,x=x1-x2
となり,ここに出てくるμなるものが換算質量というわけです。
これを相対運動の(相対座標についての)運動方程式といいます。
x1,x2の運動方程式は,一般に連立微分方程式になりますが,
X,xの運動方程式は相互に座標が入り込まないそれぞれに独立した
微分方程式になるため,比較的簡単に解けるわけです。
お礼コメント
DNR

お礼率 48% (17/35)

返事が遅くなってしまい申し訳ありません。
丁寧なご解答ありがとうございます。

おかげさまでなんとかこの壁を越えられそうです。

私もいつかは物理を教えられるようになりたいと思います。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2008-07-15 00:22:51
Be MORE 7・12 OK-チップでイイコトはじまる

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 74% (673/907)

重心の運動方程式というのは,系を1体としてまとめたものの
運動方程式ですから,換算質量ではなく合計質量を用います。
外力ゼロならば当然右辺はゼロで,結果は等速度運動です。
換算質量は,2体の相対変位に関する運動方程式に用いるものです。
いずれにせよ,一度2体のそれぞれについてしっかり運動方程式を
書かれることをおすすめします。両者から重心の変位がしたがう
運動方程式と,相対変位がしたがう運動方程式とが導かれます。
これは単に微分方程式の簡単な変数変換の問題です。
この作業を一度しっかりやっておくと自信がつきますよ。
補足コメント
DNR

お礼率 48% (17/35)

ご解答ありがとうございます。

mx1''=kd -(1)
2mx2''=-kd -(2)
これらから2つの方程式を得るということは、

(1)+(2)より
m(x1''+2x2'')=0 (重心の変位が従う運動方程式)
(1)-(2)より
m(x1''-2x2'')=2kd (相対変位が従う運動方程式)
ということでしょうか?

変数変換というのは、左辺()内を新たな変数Xに置き換えるということで、この場合だと、
X1''=x1''+2x2''
X2=x1''-2x2''
X1:重心の変位      X2:相対変位
となり、この問題の解答は、X1'=v0 (v0:積分定数)
であっているでしょうか?
投稿日時 - 2008-07-14 12:44:27
AIエージェント「あい」

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