体 同型の証明

質問

a^pを1の原始p乗根とするとき、Q上a^pで生成される体Q(a^p)はQ/f(x)と同型であることを示せ。

p:素数、　f(x)=x^(p-1)+x^(p-2)+・・・+x+1
とする。

という問題を教えてください。

回答No.4

Tacosan

そこで「考えてみましたが、分かりませんでした。 」で終わられると話にならんのだけど. 考えてわからなかったら, 調べてみようよ....

ところでいまさらだけど「a^pを1の原始p乗根とする」は「a^p が 1 の原始 p乗根」つまり「a 自体は 1 の (原始) p^2乗根」ということでいいんだっけ?

補足

Qに{a,a^2,…,a^(p-1)}を添加したもの」→{α+Σ[1→p-1](β_n)a^n|α,β_n∈Q}　だと思います。

a^pを1の原始p乗根とする→aを1の原始p乗根とする、でした。問いでは添え字でpがついていたので、写しミスです。

回答No.3

Tacosan

その「Qに{a,a^2,…,a^(p-1)}を添加したもの」がどのような形の元からなるかわかりますか?

補足

すみません。考えてみましたが、分かりませんでした。

回答No.2

Tacosan

「Q上a^pで生成される体」が不正確だね. 「{a,a^2,…,a^(p-1)}で生成される体」とやらがどのような形なのかわかりますか?

その形がわかれば, 準同型写像そのものは自然に決まるはずです.

補足

Q上a^pで生成される体、とはQに{a,a^2,…,a^(p-1)}を添加したもの、という意味でしょうか？

回答No.1

Tacosan

OK, じゃあ
・「1の原始p乗根」とはなにか
・「Q上a^pで生成される体」とはどういったものか
・「Q/f(x)」とは何か
・「同型である」ことを示すには何がいえればいいのか
を全部きっちり書いたうえで
どこがわからないのか
を教えてもらおうじゃないか.

補足

1の原始p乗根
→p乗したら1になるが、pより小さい数乗では1になるものがない数

同型である
→準同型定理(定めた写像が準同型写像、全射、kerが(f(x)))が成り立つことがいえる

Q上a^pで生成される体
→{a,a^2,…,a^(p-1)}で生成される体

Q[x]/f(x)
→有理数多項式をf(x)で割ったあまりで分類したもの

一番悩んでいるのは、準同型定理の証明、特に写像の置き方、という部分でしょうか。