• ベストアンサー

原始n乗根で・・・

代数学の問題だと思うのですが、 pを素数、W_nは原始n乗根であるとするとき、 Q(√p)⊂Q(W_(4p))であることを示せ。 という問題の解き方が一向にわかりません。誰か教えてください、お願いしますm(__)mまた、何か参考になるURLでもいいので教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • nakaizu
  • ベストアンサー率48% (203/415)
回答No.2

まず、Q(√2)⊂Q(W_8)が成り立つのはわかりますね?つまりp=2のときになりたちます。 次にpを奇素数とするとGauss 和が√pになりますね。つまり√pは原始p乗根で表わせます。よって Q(√p)⊂Q(W_p)⊂Q(W_(4p)) となりますね。

makoto05
質問者

お礼

ありがとうございましたm(__)mでも、p=2のとき成り立つところがよく分かりません。よかったらもう少し詳しくお願いしますm(__)m

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (2)

  • nakaizu
  • ベストアンサー率48% (203/415)
回答No.3

原始八乗根は四つあって(±√2±√2i)/2 ですね。i=√(-1) これらの線形結合で√2は簡単にできますね。

makoto05
質問者

お礼

どうもありがとうございましたm(__)m

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • Largo_sp
  • ベストアンサー率19% (105/538)
回答No.1

この問題って...Q(√p)⊂Q(W_(4p)) √pが、4p乗根の集合に含まれる...ですよね... √pがすべて何かの...4p乗根になるということをしめせばよいのでは...

makoto05
質問者

お礼

アドバイスありがとうございましたm(__)m

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 原始n乗根

    FMTの話しの中に、nを偶数として、 整数ω>=2とすると、P=1+ω^(n/2)上でωは原始n乗根となる。 と書いてある。 たしかに、ωはn乗して初めて1とPを法として合同になる。 これは、Pが素数でなくても成立します。 しかし、 原始n乗根の性質として ω^0 + ω^j + ・・ + ω^((n-1)j) = 0 (j=1,2,...,n-1) が成立すると書いてある。 ω=2、n=6とすると、 j=1のときは 1+2+4+8+16+32=63=9*7≡0 mod(9) 9=2^(6/2)+1 j=2のときは、 1+4+16+64+256+1024=1365=151*9+6 アルゴリズムの設計と解析II (エイホ 他)の28ページには 原始n乗根の定義の中の条件として、原始n乗根は条件 ω^0 + ω^j + ・・ + ω^((n-1)j) = 0 (j=1,2,...,n-1) を満たさなくてはならない。 と書いてある。 さて、原始n乗根の定義は何でしょうか?  最初の2は原始n乗根なのでしょうか?  Pには他に条件が付くのでしょうか?  j に条件をつけるのでしょうか? 計算間違いなのか、誤解なのかよく分かりません。 混乱しています。よろしくお願いします。

  • 原始根の問題です。

     整数aがpの原始根であるための必要十分条件は(a/p)=-1であることを示せ。という問題です。(ちなみにこの(a/p)=-1のかっこはルシャンドルの記号です。) 回答には   p=2^(2n) +1とおく。3がpの原始根ならば、(3/p)=-1 原始根でなければ、p-1の約数は2べきだから(3/p)=1 ところで、相互法則から、(3/p)=(p/3), p≡(-1)^(2n) +1≡2(mod3)より、 (p/3)=(2/3)=-1 よって原始根になる。  と書いてあったのですが、 なんで、p=2^(2n) +1と最初におくのかわかりません。 これってフェルマー素数におくっていうことですよね? ちなみに3はフェルマー素数の原始根となるということの 証明もいまいちよくわかりません。 この回答あってますか? もっとわかりやすい回答があったら教えてください。 お願いします。

  • 原始n乗根の和をf(n)

    高木貞治 初等整数論に Fn(x):1の原始n乗根のみを根とする方程式 問題:Fn(x)の第2項の係数は-μ(n)に等しい  これはほぼ理解できるのですが 解のプロセスの中で、原始n乗根の和をf(n)とすれば、、x^n-1=0から d|n Σf(d)=1(n=1のとき) d|n Σf(d)=0(n>1のとき)   ←これがいまひとつよくわかりません。 よろしくお願いします。 ----------------------------------- 原始n乗根;n乗して始めて1になる数

  • 原始根

    3つの相異なる素数をどのように選んでも、 これらを上手く並び替えてp,q,rとすれば 「p,qのどちらかはmod rの原始根である」 が成り立つでしょうか? 証明か反例を教えてください。

  • 原始根

    pを奇素数、rをmod pの原始根で 1≦r≦p-1 をみたすものとすると、 pと(r^(p-1)-1)/pは互いに素ですか?

  • 中国の剰余定理と原始根

    アドバイスよろしくおねがいします。 p,qを素数としたときに mod p と mod q において 原始根になる値gが存在する。それは中国剰余定理からいえる。 という記述があったのですが、原始根と中国剰余定理が結びつきません。 mod p,mod q において原始根ということは gを法pにおいてp-1乗してはじめて1になり、かつ法qにおいてもq-1乗してはじめて1になるわけだと思います。(ほかにも条件がありますが…) で、中国剰余定理は 簡単に言うと 複数の法が違い、法の数が互いに素な連立合同式に対して、解が一意に定まるということだと思います。 この二つが結びつきません。 ご教授お願いします

  • 原始根

    pは素数、kは自然数で、kはp-1の倍数ではないとき、pと互いに素な自然数aで、a^k-1がpの倍数とならないものが存在する。 これを原始根を持ち出さずに証明する方法があれば教えてください。

  • 離散対数と原始根

    p>2でxはpの原始根とすると 1) ind_x (p-1)はどうやって求めればいいのでしょうか? 2) (1)を使ってX^4 ≡ -1(mod p)が成り立つのはp≡1(mod 8)の時だけである事を証明するにはどうすればいいのでしょうか?

  • 原始関数について

    1/(x-p)^3(x-q)^2 (p≠q) この問題の原始関数の求め方を教えてください

  • 1のn乗根

    1のn乗根を  ω=cos(2π/n)+isin(2π/n) で表すとき  1+ω^h+ω^2h+ ・・・ +ω^(n-1)h=0 となることを示せ という問題の解法がわからないのですが、 これは複素数平面を用いて解くのでしょうか? なるべく複素数平面以外の解法で解きたいのですが・・・ また参考になるサイトなどあれば教えていただけないでしょうか。