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K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せ
K:={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}とする。 K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せと言う問題です。 P_2(×)RからP'_2への全単射な同型写像fとしてどのようなものが取れますでしょうか? P_2(×)R∋∀p(×)r→f(p(×)r):=????
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テンソル代数で一番気をつけなければならないのはa(×)bの形の元だけ考えるのでは不十分だということです。これはテンソルの定義の基本です。というかすでに回答したのですが。。。 再度今の例で言えば {1}(×)√5 + {x}(×)√2 + {x^2}(×)√7 など単純テンソルの線型結合すべてを考えなくてはなりません。 これが分かれば全射は明らかでしょう。
お礼
大変ありがとうございます。 > テンソル代数で一番気をつけなければならないのはa(×)bの形の元だけ考えるのでは不十分だということです。これはテンソルの定> 義の基本です。というかすでに回答したのですが。。。 > 再度今の例で言えば > {1}(×)√5 + {x}(×)√2 + {x^2}(×)√7 > など単純テンソルの線型結合すべてを考えなくてはなりません。 > これが分かれば全射は明らかでしょう。 r{1}(×)√5+r{x}(×)√2+r{x^2}(×)√7∈P_2(×)R(∵テンソル積は和に関して群をなす) f(r{1}(×)√5+r{x}(×)√2+r{x^2}(×)√7) =f(r{1}(×)√5)+f(r{x}(×)√2)+f(r{x^2}(×)√7) (∵fは線形写像) =r(√2+√3x+√7x^2)となりますね。確かに。。。 ところでふと疑問に思ったのですが このfが線形写像を示す際に私は知らず知らずのうちに f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r) =f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r) を示しましたが f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s) =f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s) を示さないといけませんよね。 でもこの場合, 「=f(((a_0+a_1x+a_2x^2,r)+(b_0+b_1x+b_2x^2,r))modT) =f((a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2,r)modT)」 で使ったテンソルの性質が使えません。 どうすれば f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s) =f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s) が示せますでしょうか??
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全射の意味を誤解してるように思います。逆写像が定義できるわけではありません。回答で示したつもりでしたが例えば、 f({1+x+x^2}(×){r√2})=r√2(1+x+x^2)、1+x+x^2∈P_2 でどうでしょうか？
お礼
> 全射の意味を誤解してるように思います。逆写像が定義できるわけではありません。回答で示したつもりでしたが例えば、 > f({1+x+x^2}(×){r√2})=r√2(1+x+x^2)、1+x+x^2∈P_2 > でどうでしょうか？ ありがとうございます。これは簡単でしたね。√2で括ればr(√2+√2x+√2x^2)の逆像として1+x+x^2(×)√2rが取れますね。 でも r(√2+√3x+√7x^2)の場合はどうでしょうか?これの逆像は何が取れますでしょうか? f(?+?x+?x^2(×)?)=r(√2+√3x+√7x^2)
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f:{Σa_j x^j}(×)r→Σra_jx^jの線型拡張でどうでしょうか？ f(Σ{x^j}(×)r_j)=Σr_j x^jで全射です。 また単射であることもテンソル演算に注意して示せるはずです。
お礼
ありがとうございます。 > f:{Σa_j x^j}(×)r→Σra_jx^jの線型拡張でどうでしょうか？ > f(Σ{x^j}(×)r_j)=Σr_j x^jで全射です。 > また単射であることもテンソル演算に注意して示せるはずです。 ∀(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r,(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r∈P_2,∀c∈Rを採ると, (i) f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r) =f((a_0+a_1x+a_2x^2,r)modT+(b_0+b_1x+b_2x^2,r)modT) (但し,T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,ry)-r(x,y)} (x_1,x_2,x∈P_2,y_1,y_2,y,r∈R)) =f(((a_0+a_1x+a_2x^2,r)+(b_0+b_1x+b_2x^2,r))modT) =f((a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2,r)modT) (∵(a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2,r)-(a_0+a_1x+a_2x^2,r)-(b_0+b_1x+b_2x^2,r)∈T) =f(((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2,r)modT) =f((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2)(×)r) =r((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2) =r(a_0+a_1x+a_2x^2)+r(b_0+b_1x+b_2x^2) =f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r) (ii) f(c(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)=f((c(a_0+a_1x+a_2x^2))(×)r) (∵c(a_0+a_1x+a_2x^2,r)-(c(a_0+a_1x+a_2x^2),r)∈T) =rc(a_0+a_1x+a_2x^2)=cr(a_0+a_1x+a_2x^2) =cf((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r) よって(i),(ii)よりこのfは線形写像をなす。 (iii) 単射である事 (a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r≠(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)rとすると r=0の場合は(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)rも(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)rもP_2(×)Rの零元となるので (a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r=(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)rとなってしまう。 従って,r≠0且つa_0+a_1x+a_2x^2≠b_0+b_1x+b_2x^2 …(1) でなければならない。 f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)=r(a_0+a_1x+a_2x^2) f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r)=r(b_0+b_1x+b_2x^2) ここで(1)からr(a_0+a_1x+a_2x^2)≠r(b_0+b_1x+b_2x^2) 即ち,f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)≠f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r). よってfは単射。 (iv) 全射である事 f^-1(r(√2+√2x+√2x^2))=(√2+√2x+√2x^2))(×)rとなり,この元はP_2の元にはならない。 (∵√2+√2x+√2x^2の係数がKの元ではない) 全射である事はどのようにして解決できますでしょうか?
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