K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せ

質問

K:={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}とする。

K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せと言う問題です。

P_2(×)RからP'_2への全単射な同型写像fとしてどのようなものが取れますでしょうか?

P_2(×)R∋∀p(×)r→f(p(×)r):=????

回答No.5

ringohatimitu

テンソルの定義は代数的なもの（modを使って）や多重線型写像によるものなどありますがテンソルの性質を導くのに便利なのは多重線型写像によるものでしょう。以下のサイトを復習してみてください：
http://planetmath.org/encyclopedia/PropertiesOfTensorProduct.html

回答No.4

ringohatimitu

この意味で「線型拡張」と最初の回答で言ったつもりでした。
これは今の特殊な場合に限ったことではなく一般論なので記号の簡潔さのためV(×)K、VはF上のベクトル空間、KはFを含む係数体（すなわち拡大体）としておきます。
f(v(×)r)=rv
と定義しました。
それで「一般の元」はv(×)r+u(×)sなどと書けるのでそれに対しては
f(v(×)r+u(×)s)=rv+su
と定義するわけです。ここで問題になるのはこれがwell-definedであるかどうかです。すなわちある元をとってきたときその元の表現の仕方によらないでfによる行き先が決まることを見なければなりません。
何を言ってるかというと、、、たとえばテンソルの意味で
v(×)r+u(×)s=w(×)t
としますね。
このとき「両辺のfによる像は等しいか？」ということです。
質問の状況においては片方の空間は有限次元ですから簡単に示せると思います。「u,vが線型独立のとき、u(×)r+v(×)s=0⇒r=s=0」を使うとよいでしょう（一般のn個の線型独立なベクトルについても成り立ちます）。

お礼

遅くなってしまいまして誠に申し訳ありません。

> この意味で「線型拡張」と最初の回答で言ったつもりでした。

ちょっと線形拡張の意味が良く分かりませんでした。

> これは今の特殊な場合に限ったことではなく一般論なので記号の簡潔さのためV(×)K、
> VはF上のベクトル空間、KはFを含む係数体（すなわち拡大体）としておきます。
> f(v(×)r)=rv
> と定義しました。

はい、そうですね。

> それで「一般の元」はv(×)r+u(×)sなどと書けるのでそれに対しては
> f(v(×)r+u(×)s)=rv+su
> と定義するわけです。ここで問題になるのはこれがwell-definedであるかどうかです。すなわちある元をとってきたときその元の表現の仕方によらないでfによる行き先が決まることを見なければなりません。
> 何を言ってるかというと、、、たとえばテンソルの意味で
> v(×)r+u(×)s=w(×)t
> としますね。
> このとき「両辺のfによる像は等しいか？」ということです。
> 質問の状況においては片方の空間は有限次元ですから簡単に示せると思います。「u,vが線型独立のとき、u(×)r+v(×)s=0⇒r=s=0」を使うとよいでしょう（一般のn個の線型独立なベクトルについても成り立ちます）。

簡単ですか!?
すいません。ちょっとよく分かりません。
f(v(×)r+u(×)s)=rv+su
f(w(×)t)=tw
ですよね。
v(×)r+u(×)sとw(×)tとでは代表元が異なりますよね。
v(×)r+u(×)s=(v,r)modT+(r,s)modT=((v,r)+(r,s))modT(∵シンプルテンソルの和の定義)なので
v(×)r+u(×)sの代表元は(v,r)+(r,s)でw(×)tの代表元は(w,t)ですよね。
うーん,すいません。どのようにしてrv+su=twが示せますでしょうか?

回答No.3

ringohatimitu

テンソル代数で一番気をつけなければならないのはa(×)bの形の元だけ考えるのでは不十分だということです。これはテンソルの定義の基本です。というかすでに回答したのですが。。。
再度今の例で言えば
{1}(×)√5 + {x}(×)√2 + {x^2}(×)√7
など単純テンソルの線型結合すべてを考えなくてはなりません。
これが分かれば全射は明らかでしょう。

お礼

大変ありがとうございます。

> テンソル代数で一番気をつけなければならないのはa(×)bの形の元だけ考えるのでは不十分だということです。これはテンソルの定> 義の基本です。というかすでに回答したのですが。。。
> 再度今の例で言えば
> {1}(×)√5 + {x}(×)√2 + {x^2}(×)√7
> など単純テンソルの線型結合すべてを考えなくてはなりません。
> これが分かれば全射は明らかでしょう。

r{1}(×)√5+r{x}(×)√2+r{x^2}(×)√7∈P_2(×)R(∵テンソル積は和に関して群をなす)
f(r{1}(×)√5+r{x}(×)√2+r{x^2}(×)√7)
=f(r{1}(×)√5)+f(r{x}(×)√2)+f(r{x^2}(×)√7) (∵fは線形写像)
=r(√2+√3x+√7x^2)となりますね。確かに。。。

ところでふと疑問に思ったのですが

このfが線形写像を示す際に私は知らず知らずのうちに

f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r)
=f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r)
を示しましたが

f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s)
=f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s)

を示さないといけませんよね。
でもこの場合,
「=f(((a_0+a_1x+a_2x^2,r)+(b_0+b_1x+b_2x^2,r))modT)
=f((a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2,r)modT)」
で使ったテンソルの性質が使えません。

どうすれば
f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s)
=f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)s)

が示せますでしょうか??

回答No.2

ringohatimitu

全射の意味を誤解してるように思います。逆写像が定義できるわけではありません。回答で示したつもりでしたが例えば、
f({1+x+x^2}(×){r√2})=r√2(1+x+x^2)、1+x+x^2∈P_2
でどうでしょうか？

お礼

> 全射の意味を誤解してるように思います。逆写像が定義できるわけではありません。回答で示したつもりでしたが例えば、
> f({1+x+x^2}(×){r√2})=r√2(1+x+x^2)、1+x+x^2∈P_2
> でどうでしょうか？

ありがとうございます。これは簡単でしたね。√2で括ればr(√2+√2x+√2x^2)の逆像として1+x+x^2(×)√2rが取れますね。
でも
r(√2+√3x+√7x^2)の場合はどうでしょうか?これの逆像は何が取れますでしょうか?
f(?+?x+?x^2(×)?)=r(√2+√3x+√7x^2)

回答No.1

ringohatimitu

f:{Σa_j x^j}(×)r→Σra_jx^jの線型拡張でどうでしょうか？
f(Σ{x^j}(×)r_j)=Σr_j x^jで全射です。
また単射であることもテンソル演算に注意して示せるはずです。

お礼

ありがとうございます。

> f:{Σa_j x^j}(×)r→Σra_jx^jの線型拡張でどうでしょうか？
> f(Σ{x^j}(×)r_j)=Σr_j x^jで全射です。
> また単射であることもテンソル演算に注意して示せるはずです。

∀(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r,(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r∈P_2,∀c∈Rを採ると,
(i) f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r+(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r)
=f((a_0+a_1x+a_2x^2,r)modT+(b_0+b_1x+b_2x^2,r)modT)
(但し,T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,ry)-r(x,y)}
(x_1,x_2,x∈P_2,y_1,y_2,y,r∈R))
=f(((a_0+a_1x+a_2x^2,r)+(b_0+b_1x+b_2x^2,r))modT)
=f((a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2,r)modT)
(∵(a_0+a_1x+a_2x^2+b_0+b_1x+b_2x^2,r)-(a_0+a_1x+a_2x^2,r)-(b_0+b_1x+b_2x^2,r)∈T)
=f(((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2,r)modT)
=f((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2)(×)r)
=r((a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2)
=r(a_0+a_1x+a_2x^2)+r(b_0+b_1x+b_2x^2)
=f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)+f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r)

(ii) f(c(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)=f((c(a_0+a_1x+a_2x^2))(×)r)
(∵c(a_0+a_1x+a_2x^2,r)-(c(a_0+a_1x+a_2x^2),r)∈T)
=rc(a_0+a_1x+a_2x^2)=cr(a_0+a_1x+a_2x^2)
=cf((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)

よって(i),(ii)よりこのfは線形写像をなす。

(iii) 単射である事
(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r≠(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)rとすると
r=0の場合は(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)rも(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)rもP_2(×)Rの零元となるので
(a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r=(b_0+b_1x+b_2x^2)(×)rとなってしまう。
従って,r≠0且つa_0+a_1x+a_2x^2≠b_0+b_1x+b_2x^2 …(1)　でなければならない。
f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)=r(a_0+a_1x+a_2x^2)
f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r)=r(b_0+b_1x+b_2x^2)
ここで(1)からr(a_0+a_1x+a_2x^2)≠r(b_0+b_1x+b_2x^2)
即ち,f((a_0+a_1x+a_2x^2)(×)r)≠f((b_0+b_1x+b_2x^2)(×)r). よってfは単射。

(iv) 全射である事
f^-1(r(√2+√2x+√2x^2))=(√2+√2x+√2x^2))(×)rとなり,この元はP_2の元にはならない。
(∵√2+√2x+√2x^2の係数がKの元ではない)

全射である事はどのようにして解決できますでしょうか?