- 締切済み
K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せ
ringohatimituの回答
- ringohatimitu
- ベストアンサー率59% (111/187)
この意味で「線型拡張」と最初の回答で言ったつもりでした。 これは今の特殊な場合に限ったことではなく一般論なので記号の簡潔さのためV(×)K、VはF上のベクトル空間、KはFを含む係数体（すなわち拡大体）としておきます。 f(v(×)r)=rv と定義しました。 それで「一般の元」はv(×)r+u(×)sなどと書けるのでそれに対しては f(v(×)r+u(×)s)=rv+su と定義するわけです。ここで問題になるのはこれがwell-definedであるかどうかです。すなわちある元をとってきたときその元の表現の仕方によらないでfによる行き先が決まることを見なければなりません。 何を言ってるかというと、、、たとえばテンソルの意味で v(×)r+u(×)s=w(×)t としますね。 このとき「両辺のfによる像は等しいか？」ということです。 質問の状況においては片方の空間は有限次元ですから簡単に示せると思います。「u,vが線型独立のとき、u(×)r+v(×)s=0⇒r=s=0」を使うとよいでしょう（一般のn個の線型独立なベクトルについても成り立ちます）。
関連するQ&A
- R上の線形空間の基底を与える事によるK上のテンソル積P_n(×)Rを述べよ
どうもです。 Consider K:={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}. Describe P_n(×_K)R by giving a basis of the vector space over R. R上の線形空間の基底を与える事によるK上のテンソル積P_n(×)Rを述べよ。 と言う問題なのですが何と述べればいいのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連続写像r:X→Aならrは商写像となる事を示せ
下記の問題で質問です。 (1) Let p:X→Y be a continuous map. Show that if there is a continuous map f:X→Y such that pf equals the identity map of Y,then p is a quotient map. (2) If A⊂X,a retraction of X onto A is a continuous map r:X→A such that r(a)=a for each a∈A. Show that a retraction is a quotient map. (1) p:X→Yを連続写像とせよ。もし合成写像pfがYの恒等写像になるような連続写像f:Y→Xが存在するならpは商写像である事を示せ。 (2) もしA⊂XならXからAへの上へのretraction(引き込み,左逆写像)は∀a∈Aに対してr(a)=aとなる連続写像r:X→Aならrは商写像となる事を示せ。 (1)については f=p^-1の関係になっていてpもp^-1も連続で全単射と言ってあるのだから ∀p^-1(s)∈T(TはXの位相)⇔s∈S(SはYの位相)が言えるから pは商写像。 で正解でしょうか? (2)については 引き込みの定義はf:X→YでB⊂YでBがf(X)の部分集合でない時の逆像f^-1(B)をfによるBの引き戻しとか言ったりするのだと思います。 rはontoと言っているので全射と分かる。 Aの位相として相対位相T_a:={A∩t∈2^X;t∈T} (但しTはXの位相)が取れる。 そこでr^-1(s)∈T⇔s∈T_aを示す。 s∈T_a⇒r^-1(s)∈Tはrが連続である事から直ちに言える。 r^-1(s)∈T⇒s∈T_aである事は r^-1(s)∈T…(2)を採るとs=r(r^-1(s))(∵rは全射)=r^-1(s) (もしr^-1(s)⊂Aなら) …(3) (∵rの定義) ∈T_a (∵(2),(3)と相対位相の定義) しかしr^-1(s)がAに含まれていない場合はこのsは何ともいえません。 どうすればこの場合もs∈T_aが導けますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Rが単位的可換環でf=Σ_{i=0}^n a_ix^i∈R[x]とする。fが単元⇔a_0は単元でa_1,a_2,…,a_nはnilpotent
Rが単位的可換環でf=Σ_{i=0}^n a_ix^i∈R[x]とする。fが単元⇔a_0は単元でa_1,a_2,…,a_nはnilpotent。 という問題です。 ∃n∈N;a^n=0ならaはnilpotentである というのがnilpotentの定義です。 (必要性) fが単元だというのだから,∃g(x)∈R[x];f(x)g(x)=1。 もし,degf(x)=1なら,明らかにa_0は単元でなければならない。 もし,degf(x)>1でg(x)=_{i=0}^m b_ix^iとすると f(x)g(x)=Σ_{k=0}^{m+n}(Σ_{i+j=k}a_ib_j)x^kでこれからどのようにしてa_iがnilpotentである事が示せますか? (十分性) a_iはnilpotentsだからa_i^r_i=0 (但し,r_i∈N, i=1,2,…,n)とするとここからどのようにf(x)の逆元g(x)を決めれますでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- P(x)が（xーa）^2で割りきれることを示せ
問題：P(x)=x^n-xna^(n-1)+(n-1)a^n(n≧2)・・・＊が（xーa）^2で割りきれることを示せ 回答はP（x)=(x-a)^2・Q(x)+Ax+Bとおいて P(a)=aA+B、P'(x)=A ＊についても P(a)=0、P'(a)=0と求めて、A＝B＝０と導いてました。 この回答について質問です。 質問１：どうして微分したんですか？（２つの未知数のうちのAが消えるからですか？）また微分が１回だったのは未知数がAとBの２つだったからですか？ 質問２：この回答がやっているのは、P（a）とP'(a)を２通りに分けて考えて数値を比較しているという解釈でいいですか？ 頭が悪いので意味不明なところがあるかもしれませんが、できるだけわかりやすく教えてください・お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない
こんにちは。 [問]Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では 一様収束しない事を証明せよ。 が示せません。 一様収束の定義は 0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)-Σ[k=1..n]1/k^(1+x)|≦ε) です。 "p>1の時Σ[n=1..∞]1/n^pは収束,p<1の時発散"より 0<b<cに於いてΣ[k=1..n]1/k^(1+c)<Σ[k=1..n]1/k^(1+b)だから Σ[k=1..∞]1/k^(1+c)<Σ[k=1..∞]1/k^(1+b) とまで分かったのですがこれからどのようにして証明して分かりません。 どうぞご教示ください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題
こんにちは、お世話になります。以下の2問についてですが 1. π_nをn次多項式空間とし、f:π_n→π_nとする,f(p)=p-∫p(0→1)は一次写像ならば、fの核と像を求めよ。また、fは同型写像であるか。基底｛1,x^2,x^3,…,x^n｝に対して、fを表す行列A_fを求めよ。 核は、定数とすぐにわかるのですが、像の求め方、また同型写像であるか否かと行列の求め方がわかりません。 2.Aが(m,n)行列、b∈R^m∩Im(A)のとき、Ax=bの解全体 がアフィン部分空間を成すことを示せ。 2については何をどうすればいいのか、検討もつきません。 どなたかわかりやすくご指導いただけると幸いです。 よろしくお願いします。m(__)m
- 締切済み
- 数学・算数
- R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?
よろしくお願い致します。 A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。 (ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。 (イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。 という問題です。 (ア)について Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1) (但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け, 題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。 それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} から先に進めません。 λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。 どのすれば=0にたどり着けますでしょうか? (イ)について 答えは多分Yesだと思います。 Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U＼E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。 なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。 それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。 今,(ア)より inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0 と分かったので 0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i} =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (但しBd(I_i)は境界点) =inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} (∵||の定義) からinf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となればI_i＼Bd(I_i)は開集合になので inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)}=0が言え, ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え, μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア)) となりおしまいなのですが inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)∪Bd(I_i)} から inf{Σ[i=1..∞]|I_i＼Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i＼Bd(I_i)} となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学の問題なんですが…
(1)Q[x]において{f(x)∈Q[x] | f(√2)=0}はイデアルか？ (2)２は{a+b√-5 | a,b∈Z}において規約元か？ (3)可換環Z/12Zのイデアルとその包含関係を書け (4)Q(√2)(={a+b√2 | a,b∈Q})からそれ自身への環準同型をすべて書け。 (5)Rを環、IをRの両側イデアルとする。 R/Iの元a+Iとb+Iの和をa+b+I、積をab+Iとするとこの和と積は 代表元a,bの取り方に依存しないこと(即ちWell-defind)であることを示せ 代数学がちょっと苦手なので簡単な問題かもしれませんが どうかご指南おねがいしますm(_ _)m
- 締切済み
- 数学・算数
- a k a や R I Pって何かの略ですか？
洋楽でアーティスト名などでたまに見かける a k a や R I Pって何なのでしょう？ 所属している会社名とかでしょうか？
- ベストアンサー
- 海外アーティスト
お礼
遅くなってしまいまして誠に申し訳ありません。 > この意味で「線型拡張」と最初の回答で言ったつもりでした。 ちょっと線形拡張の意味が良く分かりませんでした。 > これは今の特殊な場合に限ったことではなく一般論なので記号の簡潔さのためV(×)K、 > VはF上のベクトル空間、KはFを含む係数体（すなわち拡大体）としておきます。 > f(v(×)r)=rv > と定義しました。 はい、そうですね。 > それで「一般の元」はv(×)r+u(×)sなどと書けるのでそれに対しては > f(v(×)r+u(×)s)=rv+su > と定義するわけです。ここで問題になるのはこれがwell-definedであるかどうかです。すなわちある元をとってきたときその元の表現の仕方によらないでfによる行き先が決まることを見なければなりません。 > 何を言ってるかというと、、、たとえばテンソルの意味で > v(×)r+u(×)s=w(×)t > としますね。 > このとき「両辺のfによる像は等しいか？」ということです。 > 質問の状況においては片方の空間は有限次元ですから簡単に示せると思います。「u,vが線型独立のとき、u(×)r+v(×)s=0⇒r=s=0」を使うとよいでしょう（一般のn個の線型独立なベクトルについても成り立ちます）。 簡単ですか!? すいません。ちょっとよく分かりません。 f(v(×)r+u(×)s)=rv+su f(w(×)t)=tw ですよね。 v(×)r+u(×)sとw(×)tとでは代表元が異なりますよね。 v(×)r+u(×)s=(v,r)modT+(r,s)modT=((v,r)+(r,s))modT(∵シンプルテンソルの和の定義)なので v(×)r+u(×)sの代表元は(v,r)+(r,s)でw(×)tの代表元は(w,t)ですよね。 うーん,すいません。どのようにしてrv+su=twが示せますでしょうか?