数学IAの論理について

質問

a,bを実数として
(|a+b|+|a-b|)^2=2(a^2+b^2+|a^2-b^2|)
が
a^2<b^2のとき
(|a+b|+|a-b|)^2=4b^2となる。

そして
1/2(|a+b|+|a-b|)=bが成り立つための必要十分条件を求める問題で

b≧0かつa^2≦b^2 が 解なのですが
この二つをまとめた形が求められている解の形になるのですが

このことについて参考書の説明で

b≧0といっているのでa^2≦b^2をaを未知数,bを定数とと考えて変形すると
a^2-b^2≦0
(a+b)(a-b)≦0 よって -b≦a≦b
|a|≦bとなる。

と書かれているのですが
aを未知数と考えて0≦b^2-a^2
(b+a)(b-a)≧0
b<-aまたは a<b

これは間違いなのでしょうか?
センター試験の過去問で解答を選択するものなのですが
選択肢の中に|a|≦bの形はありますがb<-aまたは a<bの形は無いので
もしあったとしたらこれも正解なのでしょうか?

b≧0だからaを未知数、bを定数と考える、ということの理由がよくわかりません
b≧0であればaを定数、bを未知数とは考えられないのでしょうか?

よろしくお願いします。

回答No.6

178-tall

焦点を少々前へずらしてみると？

>b≧0かつa^2≦b^2 が 解なのですが
　…
>a^2-b^2≦0
>(a+b)(a-b)≦0 よって -b≦a≦b
>|a|≦bとなる。

まず a^2≦b^2 は、× 字区分け (右-上-左-下) でいうと「上」と「下」ですね。
それと b≧0 なら「上」のみ。
確かに|a|≦b で間に合いますネ。
余分な記号を付加して条件項数を減らしただけ、ともいえますけど…。

>aを未知数と考えて0≦b^2-a^2
>(b+a)(b-a)≧0
>b<-aまたは a<b
>これは間違いなのでしょうか?

(ここがよく判りません。「aを未知数と考えて」の意味を把握しかねてます)

0≦b^2-a^2 ならば、(b+a) と (b-a) とは同極性なのでしょうから、
　b≧-a かつ b≧a 「上」
あるいは
　-a≧b かつ a≧b 「下」
に相当し、前者が |a|≦b に等価みたいですが…。

回答No.5

178-tall

連休ボケ、というより年中呆けです。

謹訂正。

イヤ、「b≧ 0 かつ b<-a または a<b」は「上」&「左」の上半分、なのかも…。

回答No.4

178-tall

< ANo.3

>「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」は「上」らしいから、「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」と等価ですネ。

イヤ、「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」は「上」&「左」の上半分、なのかも…。

回答No.3

178-tall

>　「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」が正解なら、「b≧ 0 かつ b<-a または a<b」も正解か？
　　↑
でしたか…。

ならば、
「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」は「上」らしいから、「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」と等価ですネ。

回答No.2

stomachman

ご質問の
> b<-aまたは a<b
というのは、正しくは
　　a≧0のとき、b≦-aまたは a≦b
　　a＜0のとき、b≦aまたは -a≦b
でしょ。ここにb≧0という条件を付けると、
　　a≧0, b≧0のとき、b≦-aということはない。
　　a＜0, b≧0のとき、b≦aということはない。
だから、
　　a≧0, b≧0のとき、a≦b
　　a＜0, b≧0のとき、-a≦b
まとめて
　　b≧0のとき、|a|≦b
となって、もちろん同じコタエになる。

回答No.1

178-tall

(もとの問題は一時棚上げとして…)
さしあたりの焦点は、
　「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」が正解なら、「b<-a または a<b」も正解か？
…なのでしょうか？

目安の一例。
a-b 直交座標軸を半直角 (45 度) だけ反時計回りに回転した × 字の区分け (右-上-左-下) でいうと？

　「b≧ 0 かつ a^2≦b^2」は「上」
　「b<-a または a<b」は、「右」だけをのぞいた区分

ということになりそうですけど…。