ベクトルの問題

質問

三角形の内部に一点Pを取り、その点から各辺(3辺)に下した垂線の長さをa,b,cとする。
a^2+b^2+c^2が最小になるようにしたい。どのような条件を満たす点か。
ヒント：Ｐが望む点になっているならば、Pから任意の方向に微小ベクトルv動かしても、2乗の和の値は不変である、(極地のため)、という考え方を利用してベクトル的に解くのが良い。なお、vは微笑だからv^2は|v|に対して無視できる。一般に三角形は3辺に垂直な３つの(単位)ベクトルを決めなければ決定されるのは当然である。

この問題が分からないので、教えてください。

工学部の教授が作った数学問題なので、多少数学的ではないかもしれません。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

三角形の頂点の1つを原点
O(0,0)
他の1つを
I(1,0)
残る1つを
A(u,v)
とする
△OIAに対して
P(x,y)
から
OIに下した垂線の長さをa
OAに下した垂線の長さをb
IAに下した垂線の長さをc
f(x,y)=a^2+b^2+c^2
とすると
a=|y|
b=|vx-uy|
c=|v(x-1)-(u-1)y|
だから
f(x,y)=a^2+b^2+c^2
=yy+(vx-uy)^2+{v(x-1)-(u-1)y}^2
=yy+vvxx-2uvxy+uuyy+vv(x-1)^2-2v(u-1)(x-1)y+(u-1)^2yy
=yy+vvxx-2uvxy+uuyy+vv(xx-2x+1)-2v(u-1)(xy-y)+(u-1)^2yy
=2vvxx+2(uu-u+1)yy-2v(2u-1)xy-2vvx+2v(u-1)y+vv
f(x,y)が最小となる(x,y)では
f(x,y)のxによる偏微分f_x=0となるから
f_x=4vvx-2v(2u-1)y-2vv=0…(1)
f(x,y)のyによる偏微分f_y=0となるから
f_y=4(uu-u+1)y-2v(2u-1)x+2v(u-1)=0…(2)
(1),(2)の(x,y)に関する連立方程式を解くと
x=(u+1)/3
y=v/3
だから
P(x,y)=((u+1)/3,v/3)=(O+I+A)/3
∴
Pは三角形OIAの重心となる

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

三角形の各辺の長さをA, B, C
面積をSとすると

Aa+Bb+Cc=2s

つまり、この問題は、上の式が示す平面
上の点で一番原点に近い点はどれか
ということになります。

条件付極値問題として解くと

a=2SA/(A^2+B^2+C^2)
b=2SB/(A^2+B^2+C^2)
c=2SC/(A^2+B^2+C^2)

解法はラグランジュの未定乗教法が
おすすめです。