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ベクトルの問題を解く方法とは?
muturajcpの回答
三角形の頂点の1つを原点 O(0,0) 他の1つを I(1,0) 残る1つを A(u,v) とする △OIAに対して P(x,y) から OIに下した垂線の長さをa OAに下した垂線の長さをb IAに下した垂線の長さをc f(x,y)=a^2+b^2+c^2 とすると a=|y| b=|vx-uy| c=|v(x-1)-(u-1)y| だから f(x,y)=a^2+b^2+c^2 =yy+(vx-uy)^2+{v(x-1)-(u-1)y}^2 =yy+vvxx-2uvxy+uuyy+vv(x-1)^2-2v(u-1)(x-1)y+(u-1)^2yy =yy+vvxx-2uvxy+uuyy+vv(xx-2x+1)-2v(u-1)(xy-y)+(u-1)^2yy =2vvxx+2(uu-u+1)yy-2v(2u-1)xy-2vvx+2v(u-1)y+vv f(x,y)が最小となる(x,y)では f(x,y)のxによる偏微分f_x=0となるから f_x=4vvx-2v(2u-1)y-2vv=0…(1) f(x,y)のyによる偏微分f_y=0となるから f_y=4(uu-u+1)y-2v(2u-1)x+2v(u-1)=0…(2) (1),(2)の(x,y)に関する連立方程式を解くと x=(u+1)/3 y=v/3 だから P(x,y)=((u+1)/3,v/3)=(O+I+A)/3 ∴ Pは三角形OIAの重心となる
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