ｘのｘ乗の極限は？お助けください。お願いします

質問

【問題】　lim[x→+0]x^x

何から手をつければよいのか、全くお手上げ状態です。どなたか、整然とした解答をお願いできないでしょうか。

回答No.3

noname2727 · ベストアンサー

y＝x^xとおく

lim[x→+0]logy=lim[x→+0]xlogx

＝lim[x→+0](logx)/(1/x)

=lim[x→+0]（1/x）/(-1/x^2)　（∵ロピタルの定理）

=lim[x→+0]-x

＝0

＝log1

対数の連続性から

lim[x→+0]x＾x＝１

お礼

対数という手があったのですね。ロピタルと合わせて納得です。すぐにも解答していただき、本当にありがとうございました。

回答No.4

k14i12d

No.1
いやいや、x^x→1でしょ。
y=x^xとして、
log y=log x^x
⇔log y=xlog x
ここで、1/elog 1/e<0であることと、
(xlog x)'=log x +1から、0<x<1/eでxlog x≦0から、この区間で単調減少であることを用いると、
xlog x→-∞とはならないことがわかります。
極限を求めるのにははさみうちを使うのですが、そこは自身でやってみてはどうでしょうか。
聞きたい場合は補足にでも書いて下さい。
上ので、0に収束しないことは理解していただけたと思います。

お礼

ここまで方向性を示してもらい、ありがとうございます。そこから、極限値１を証明してみます。

回答No.2

shuu_01

まったくわからないので grape でグラフを描いてみました

一目瞭然、答えは１です

お礼

グラフ化して、極限値の見通しをつけてみるのも一考ですね。ごていねいに、ありがとうございます。

回答No.1

kamobedanjoh

[x→+0]　は、xが正の小数という意味でしょう。
小数同士の掛け算を繰り返せば、その値はドンドン小さくなって行きます。
冪数では、一層早く小さくなります。
つまり[x→+0]の場合の xのx乗は、限りなく ０ に近づきます。
従って、
　lim[x→+0]x^x＝０