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関数の極限
次の関数の極限の求め方で困っています。 lim(x→∞)xe^(-x^2) わかりにくい書き方で申し訳ありません。 本来関数の最大最少を求める問題だったのですが、解答中にこの極限を求める必要があるのですが、解答は解説なく=0としていて、どのように求めたのかがわかりません。 置き換えなど試してみたのですがさっぱりです。 お願いいたします。
- hyottokotunes
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xe^(-x^2) = x/e^(x^2) ≦ x/(1+x^2). あるいは ∫(x: 0→∞) xe^(-x^2)dx = 1/2 から.
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- info22_
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e^xのマクローリン展開は e^x=1+x+(1/2)x^2+ … x>0で e^x>1+x ⇒ 1/e^x<1/(1+x) ⇒ 1/e^(x^2)<1/(1+x^2) ⇒ xe^(-x^2)=x/e^(x^2)<x/(1+x^2) したがって lim(x→∞)xe^(-x^2)≦lim(x→∞)x/(1+x^2)=lim(x→∞) 1/(x+(1/x)) =lim(x→∞) 1/(x+0)=lim(x→∞) 1/x = 0 x>0のとき xe^(-x^2)>0 なので lim(x→∞)xe^(-x^2) = 0
お礼
テイラー展開を用いたものですね。 しかし、高校範囲内の方法で答えを出せないでしょうか。
- Tacosan
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x ≧ 0 なら e^x ≧ 1+x.
お礼
その不等式はどのように導式すればよいでしょうか。 不勉強ですみません。
- spring135
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ロピタルを使います。 L=lim(x→∞)xe^(-x^2)=lim(x→∞)e^(-x^2)/x^(-1) 分子分母をxで微分して L=lim(x→∞)(-2x)e^(-x^2)/[-2x^(-2)]=lim(x→∞)e^(-x^2)/x=0
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど、ロピタルの定理は参考書に参考として載っていました。 しかし、高校範囲外なのであまり使わないほうがよいと書いてありました。 それ以外に求める方法はないのでしょうか。
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- 締切済み
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お礼
迅速な回答ありがとうございます。 すみません、勉強不足で上記の不等式をどう導出したのかわかりません…。 詳しく教えていただけると嬉しいです。