次の極限値を求めよ

質問

次の極限値を求めよ

lim[x→0] (tan^-1 x -2sinx + x)/x^5

解答解説お願いします。

回答No.2

info222_

テーラー展開を使わないで
ロピタルの定理を使う解法

L=lim[x→0] (tan^-1 x -2sinx + x)/x^5
0/0形なのでロピタルの定理が適用できて
L=lim[x→0] (1/(1+x^2) -2cosx + 1)/(5x^4)
0/0形なのでロピタルの定理が適用できて
L=lim[x→0] (-2x/(1+x^2)^2 +2sinx)/(20x^3)
=(1/10)lim[x→0] (-x/(1+x^2)^2 +sinx)/x^3
0/0形なのでロピタルの定理が適用できて
L=(1/10)lim[x→0] (-1/(1+x^2)^2+4x^2/(1+x^2)^3 +cosx)/(3x^2)
=(1/30)lim[x→0] (-1/(1+x^2)^2+4x^2/(1+x^2)^3 +cosx)/x^2
0/0形なのでロピタルの定理が適用できて
L=(1/30)lim[x→0] (12x/(1+x^2)^3-24x^3/(1+x^2)^4 -sinx)/(2x)
=(1/60)lim[x→0] (12/(1+x^2)^3-24x^2/(1+x^2)^4 -sin(x)/x)
=(1/60) (12-0-1)
=11/60 ...(答)

回答No.1

bran111

テーラー展開より

arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+....

sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+....

f(x)=arctanx-2sinx+x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+....-2(x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040+....)+x

=(1/5-2/120)x^5-(1/7-2/5040)x^7+....

lim[x→0] (tan^-1 x -2sinx + x)/x^5=lim[x→0] f(x)/x^5=1/5-1/60=11/60