置換積分の計算

質問

∫ｘ＾２e^2xを求めよ

（私の解答）
x^2=tとする。
ｄｔ／ｄｘ＝２ｘ⇔ｄｘ＝ｄｔ／２ｘ
として、ｘをｔであらわそうとしたのですが、ｘ＾２＝ｔ⇔ｘ＝±√ｔですから√ｔか－√ｔかわかりません。
おしえてください。
それとも両方ともやってみるのでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>x^2=tとする。
とおいたのだから

>x^2=ｔ⇔ x=±√ｔですから√ｔか－√ｔかわかりません。
の両方の場合があります。

>それとも両方ともやってみるのでしょうか？
そうです。
そして最後にまとめればいいのです。

本当は2x=tやe^(2x)=uなどととおいた方が良かった。
2x=t → dx=dt/2, x^2*e^(2x)=(1/4)t^2*e^t
[部分積分を２回適用]
e^(2x)=u → 2udx=du,dx=du/(2u),x^2*e^(2x) dx=(1/8)(log(u))^2 du/u
[合成関数の積分公式適用]