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重積分の広義積分についての問題です。
∬{ x≧0, y≧0} 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy 教えてください！ よろしくお願いします。
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- info22_
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回答No.1
x=rcos(t), y=rsin(t)とおいて置換積分すると D={(x,y)|x≧0, y≧0}⇔{(r,t)|0≦t≦π/2,0≦r} dxdy=rdrdt 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy=r/(1+r^2)^2 drdt であるから I=∬{x≧0, y≧0} 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy=∫[0→π/2] dt∫[0→∞] r/(1+r^2)^2 dr =(π/2)(1/2)∫[0→∞] 2r/(1+r^2)^2 dr =(π/4)[-1/(1+r^2)][0→∞] =π/4
