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広義重積分の問題です。
∬1/√(x^2+y^2)dxdy ,D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1} この問題がどうしても解けません。解答を教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。
- b_bm_m2828
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I=∬[D] 1/(x^2+y^2)^(1/2)dxdy t=x/yと置くと =∫[0,1] dy ∫[0,1/y] 1/(1+t^2)^(1/2) dt =∫[0,1] dy [asinh(t)] [t:0,1/y] =∫[0,1] asinh(1/y) dy =[y*asinh(1/y)+(1/2)log{√(1+(1/y)^2)+1}-(1/2)log{√(1+(1/y)^2)-1}] [x:0,1] =asinh(1)+(1/2)log{(√2+1)/(√2-1)}-lim[y→+0] y*asinh(1/y) +(1/2)lim[y→+0]log[{√(1+(1/y)^2)-1}/{√(1+(1/y)^2)+1}] =log(1+√2)+log(√2+1)-0 +(1/2)lim[y→+0]log[{√(y^2+1)-y}/{√(y^2+1)+y}] =2log(1+√2) + log(1) =2log(1+√2) +0 =2log(1+√2) 【注】逆双曲線関数:asinh(x)=log{x+√(1+x^2)}, asinh(1)=log(1+√2) (対数は自然対数)
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訂正です。 #3の3行目 I = ∫(1/r) r dr dθ = ∫dr dθ。 にある二つの ∫ は、いずれも ∫∫ の間違いです。
お礼
ご指摘ありがとうございました。
見なれた関数で計算してみましょう。 極座標を使うと、与えられた積分は I = ∫(1/r) r dr dθ = ∫dr dθ。 積分範囲は、 θ = 0 → π/2、 r = 0 → 1/cosθ (0 <= θ <= π/4)、 = 0 → 1/sinθ (π/4 < θ <= π/2)。 対称性から θ = 0 → π/4 の積分とπ/4 → π/2 の積分は等しいので、 I = 2 ∫[π/4,π/2] (∫[0,1/sinθ] dr) dθ = 2 ∫[π/4,π/2] (1/sinθ) dθ。 不定積分 J = ∫(1/sinθ) dθ を求めるために、 t = sin(θ/2) とおくと、 dt = (1/2) cos(θ/2) dθ より J = ∫[1/{2sin(θ/2)cos(θ/2)}]{2/cos(θ/2)}dt = ∫[1/{t(1-t^2)}] dt = ∫[1/t + (1/2){1/(1-t) - 1/(1+t)}] dt = ln(t) - (1/2){ln(1-t) + ln(1+t)} (ln は自然対数) = ln(t) - (1/2)ln(1-t^2) = ln{sin(θ/2)} - (1/2)ln{cos^2(θ/2)} = ln{sin(θ/2)} - ln{cos(θ/2)} = ln{tan(θ/2)}。 よって I = 2 ln{tan(θ/2)}[π/4,π/2] = 2 [ln{tan(π/4)} - ln{tan(π/8)}] = 2 [ln(1) - ln{tan(π/8)}] = - 2 ln{tan(π/8)}。 tan(π/8) を求めるために、倍角公式 tan(2φ) = 2 tanφ/{1- tan^2(φ)} で φ = π/8、 x = tan(π/8) とすると、 1 = tan(π/4) = 2 x / (1 - x^2)。 これから x^2 + 2 x -1 = 0。 これを解いて x = -1 ± √2。 x > 0 なので、 x = √(2) - 1。 よって、 I = - 2 ln{√(2) - 1} = 2 ln{1/(√(2) - 1)} = 2 ln{√(2) + 1}。
お礼
丁寧な解答ありがとうございます。 お礼が遅れてしまい申し訳ありませんでした。
- Ae610
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∬1/√(x^2+y^2)dxdy D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1} = log(tan(3π/8))-log(tan(π/8))
お礼
解答ありがとうございました。参考になりました。
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