中3数学

質問

円Nの半径の求め方を教えてください。

回答No.5

sekishingogo

●ＱからＡＰに垂線を下ろしＡＰとの交点をＨとします。
●ＡＱを結びます

準備
△ＯＡＱについて
∠ＡＯＱ＝90°，ＯＡ＝ＯＱ＝5から
・・・ＡＱ＝5√2
∠ＡＯＰと∠ＡＰＱは、弧ＡＣについて中心角と円周角の関係にあり
・・・・・・∠ＡＰＱ＝(1/2)∠ＡＯＰ＝45°

[1]ＡＰの長さを考えます

(1)△ＱＰＨについて、
直角二等辺三角形で、斜辺ＰＱ＝8であることから
・・・ＰＨ＝ＱＨ＝4√2

(2)△ＱＡＨについて
直角三角形で、斜辺ＡＱ＝5√2，QＨ＝4√2であることから（NO.3はOHになってますがQHでいいですかね？）
・・・ＡＨ＝3√2

(3)ＡＰ＝ＡＨ＋ＰＨより
・・・ＡＰ＝7√2

[2]円Ｎの半径ＯＴを求めます

(1)ＯＴが弦ＡＰに下ろした垂線であることから
・・・ＡＴ＝ＰＴ＝(1/2)ＡＰ＝(7/2)√2

(2)△ＡＯＴについて
直角三角形で、斜辺ＡＯ＝5，ＡＴ＝(7/2)√2であることから
・・・ＯＴ＝(1/2)√2

回答No.4

shuu_01

No.3 さんが既に正解を書かれてますが、別解として

余弦定理を使った方法です

角 BOP を αと置きます

三角形 OPQ に余弦定理を当てはめると

8^2 ＝ 5^2 ＋ 5^2 －2・5・5 cos（π/2 ＋ α）

整理すると cos（π/2 ＋ α） ＝ －14/50

三角関数の公式（π/2 の移動）を用い

－sin α＝ －14/50

sin α＝ 14/50

cos α ＝ √（1 － (14/50）＾２) ＝ 24/25

三角形 OPB に余弦定理を当てはめると

PB^2 ＝ 5^2 ＋ 5^2 － 2・5・5 cos α
　　　 ＝ 50 - 50・（24/25） ＝ 2

PB ＝ √2

三角形 APB と 三角形 ATO は相似で
辺の比は ２：１ なので、小さな円の半径 TO ＝ 1/2 √2

【答え】 1/2 √2

回答No.3

mizuwa

一例です

●ＱからＡＰに垂線を下ろしＡＰとの交点をＨとします。
●ＡＱを結びます

準備
△ＯＡＱについて
∠ＡＯＱ＝90°，ＯＡ＝ＯＱ＝5から
・・・ＡＱ＝5√2
∠ＡＯＰと∠ＡＰＱは、弧ＡＣについて中心角と円周角の関係にあり
・・・・・・∠ＡＰＱ＝(1/2)∠ＡＯＰ＝45°

[1]ＡＰの長さを考えます

(1)△ＱＰＨについて、
直角二等辺三角形で、斜辺ＰＱ＝8であることから
・・・ＰＨ＝ＱＨ＝4√2

(2)△ＱＡＨについて
直角三角形で、斜辺ＡＱ＝5√2，ＯＨ＝4√2であることから
・・・ＡＨ＝3√2

(3)ＡＰ＝ＡＨ＋ＰＨより
・・・ＡＰ＝7√2

[2]円Ｎの半径ＯＴを求めます

(1)ＯＴが弦ＡＰに下ろした垂線であることから
・・・ＡＴ＝ＰＴ＝(1/2)ＡＰ＝(7/2)√2

(2)△ＡＯＴについて
直角三角形で、斜辺ＡＯ＝5，ＡＴ＝(7/2)√2であることから
・・・ＯＴ＝(1/2)√2

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
もっとうまい方法があるかもしれませんが、考えてみました。

1)
まず求めるものが何かをはっきりしておきます。
「円Nの半径」ということですが、図で言えば OTの長さです。
これは ATの長さがわかれば、ピタゴラスの定理で求められる長さです。
さらに、APの長さがわかれば、ATはその半分として求められます。
というわけで【APの長さを求める】ことを考えていきます。

2)
辺QBを結ぶと、円周角の定理と対頂角より
三角形APRを三角形QBRが相似になることがわかります。
（点Rは、ABとPQの交点としています）
QBの長さは、三角形OQBが直角二等辺三角形であることから 5√2cmと求まります。
APの長さを求めるには、【相似比】がわかればよいのです。

3)
相似比を求めるためには、辺ARと辺QRの長さがわかればいいことになります。
求まりそうにないように見えますが、求められます。

三角形OQRに注目して、点Oから辺QRに垂線を引き、その足を点Sとします。
三角形OQRは直角三角形ですが、それと相似である直角三角形がまた現れます。
そして、QSの長さは 8cmの半分の 4cmとなっています。

ここからは線を書き込んだりして、一度考えてみてください。
答えは、比較的シンプルな感じになりましたよ。

回答No.1

SS2DD2

数値とかが小さすぎて見えんから画像変えた方がいいよ