たすきがけのやり方がまったくわかりません

質問

こんにちは。
お世話になります。
表題にありますように、
たすきがけ法のやり方がさっぱりわかりません。
例えば、以下のような式－40ｒ²－58ｒ＋3＞0　が、
なぜ（－20r＋1）（2r＋3）＞0　となるのかが分かりません。

－40ｒ²－58ｒ＋3＞0

（－20r＋1）（2r＋3）＞0

r＞0なので2r+3＞0だから
　-20r+1＞0
移項して
　1＞20r

　0.05＞ｒ

参考書でたすき掛けの方法を調べても、さっぱり意味が分かりません。
どなたか、お力を貸しては下さいませんでしょうか？

宜しくお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

前回、-400(1+r)^2 + 220(1+r) + 210 > 0　…(1)
の左辺を展開せずに、x = 1+r と置いて
-400x^2 + 220x + 210 > 0　…(1')
を解くべきである　と書きましたが、
参考にしていただけなかったようで、残念です。

どうしても -40r^2 - 58r + 3 > 0　…(2)
を経由して解くのであれば、それでも構いませんが。

さて、タスキガケのやり方は…
積が -40 になる２数 a, b (ab = -40) と
積が 3 になる２数 p, q (pq = 3) との中で、
aq+bp = -58 になるようなものを上手く見つけると、
-40r^2-58r+3 = (ax+p)(bx+q) と分解できる
というものです。

どうやったら a, b, p, q が見つかるという
方法もなくて、ただ勘で見つけられるかどうか
という話です。

運良く a, b, p, q が整数で見つかるという
結論ありきで探すのであれば、40 と 3 を
それぞれ素因数分解して、ありえる a,b の組と
p, q の組をリストアップし、
aq+bp = -58 となるかどうか順に確かめてゆく
ということになります。地道な作業です。

それをやっても、a, b, p, q が整数かどうかは
事前には判らないし、全ての組み合わせを試した後
整数でないことが判る場合もあるわけです。

だから、あまりタスキガケには拘らないで、
-40r^2-58r+3 をちょっと眺めてスグに
-40r^2-58r+3 = (-20r+1)(2r+3) に
気づかなかったら、二次方程式の解公式を使うのが
オススメです。

-40r^2-58r+3 = 0　⇔　r = u, v と解ければ、
-40r^2-58r+3 = -40(r - u)(r - v) と因数分解
できるからです。

ax^2+bx+c=0　⇔　x = {-b ± √(b^2 - 4ac)}/(2a)
を使って -40r^2-58r+3 = 0 を解けば、
r = 1/20, -3/2 となります。これにより、
(2)　⇔　-40(r - 1/20)(r + 3/2) > 0 と
変形できるのです。

お礼

親切かつ丁寧なご回答、有難うございます。
国外出張の為、お礼が遅くなり大変申し訳ございません。
実は、前回教えて頂いた方法を試してみたのですが、
私の現在の理解力ではどうしてもうまくいかなかったのです。
そうして、今回もう一度伺いました次第です。
本当に申し訳ございませんでした。

回答No.6

asuncion

2と1をかけて2
-20と3をかけて-60
足し合わせて-58
よって、(2r + 3)(-20r + 1)
30秒考えて気がつかなければ、解の公式を使いましょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
解の公式ですか。
さっそく、試してみたいと思います。

回答No.5

adachirusan

- 40r^2 - 58r + 3 を、

(- 20r + 1)(2r + 3) にしたいのですよね。
ちょっと回りくどいですがこんな解き方もあります。

- 40r^2 - 58r + 3 > 0
- 40r^2 - 60r + 2r + 3 > 0 (- 58r を - 60r + 2r に分ける)
- 20r(2r + 3) + 2r + 3 > 0 (左の二項を - 20r でくくる)
- 20r(2r + 3) + (2r + 3) > 0
(- 20r + 1)(2r + 3) > 0 (2r + 3 でくくれるようになるので出来上がり)

解き方はまず、ax^2 + bx + c の a と c を掛けた数(この式の場合 - 120)を求めたのち、
掛けて - 120、足して - 58(ax^2 + bx + c のbの数)になる2数を求めて式を4つの項に分解するというやり方です。
項を分解したら、あとは普通の因数分解で解けるようになるので、最初の、掛けてac、足してbになる数の求め方だけ覚えておけばとりあえずたすき掛けが分からなくても因数分解出来る…はず。

お礼

丁寧かつ詳細なご回答、有難うございました。
ご説明を見て、おぼろげながら理解することができました。
本当に、有難うございました。
国外出張の為、お礼が遅くなり、大変申し訳ございませんでした。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

2次式なら、悩むようなら根を求めて因数分解したほうが速いです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
さっそく、試してみたいともいます。

回答No.3

noname#190065

同じような質問が、過去あります。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1039298945
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1231700832
また、「たすきがけ」と検索するとたくさん出てきます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
添付url、参考に致しました。
やはり、みんな躓くところは一緒なのでしょうか…。
早く、すらすらと解けるようになりたいものです。
本当に、有難うございました。

回答No.2

alice_44

-40(r - 1/20)(r + 3/2) > 0　と変形した後は、
数直線上に r = 1/20 と r = -3/2 を書き込んで、
この２点で区切られる数直線上のどの区間で
-40(r - 1/20)(r + 3/2) > 0　が成り立つか
を考えます。

r < -3/2,
r = -3/2,
-3/2 < r < 1/20,
r = 1/20,
r >　1/20
に区切って、各区間を調べれば、
成立するのは -3/2 < r < 1/20　であることが判ります。

貴方が得たい答えが r < 1/20 であることは、おそらく、
(1)(2)の立式以前に r ≧ 0 という条件が課せられている
ことによるのでしょうね？ 質問には書いてありませんが。

お礼

ご回答ありがとうございます。
経済の問題でしたので、設問には有りませんでしたが、ｒ＝利子率なので、仰る通り r ≧ 0なのではないかと思われます。