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因数分解について！！
初歩的な質問で恐縮なのですが、R1＾2-5R1+6＝0これを解の公式などで因数分解しR1=2とR1＝３という答えが出てきました。しかし上記のR1＾2-5R1+6＝0を出すには（R1-2）（R1-3）＝0という式になると思いますこれはR1＝2の2を移項して（R1-2）＝0同様に（R1-3）＝0として両辺を掛け合せ（R1-2）（R1-3）＝0＊0としてるからでしょうか？？ちょっとしたことなのですがどうも納得がいかないので、教えて下さい。
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- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
謝辞をありがとうございました。 ＞＞＞ 上記の事で一番気になってる解の公式の答えがR1＝2、R=3となったときの（R1-2）（R1-3）＝0への変換方法はどのように理解すれば良いのでしょうか？？ 解の公式から求まったａとｂの値を （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）のａとｂの部分にぶち込むだけです。 １／２・｛５ ± √（５^2 － ４・６｝ ＝ １／２・｛５ ± √１｝ ⇒ １／２・６ または １／２・４ ⇒ ３ または ２ ⇒ （Ｒ１ － ３）（Ｒ１ － ２）＝０ ちなみに、 「ｘの多項式について、多項式＝０ となる解（代入したら式がゼロになる数）が存在するとき その多項式は ｘ－解 で割り切れる」 という当たり前のことには「因数定理」という大袈裟な名称がつけられています。 ところで、 ＞＞＞ これはR1＝2の2を移項して（R1-2）＝0同様に（R1-3）＝0として 両辺を掛け合せ（R1-2）（R1-3）＝0＊0としてるからでしょうか？？ に対する回答をしていませんでしたね。 考え方としては、 「（R1-2）（R1-3）＝０×何か ⇒ Ｒ１＝２ または （R1-2）（R1-3）＝何か×０ ⇒ Ｒ１＝３ 」 です。 （R1-2）（R1-3）＝０×０ という考え方ですと、 Ｒ１＝２ かつ Ｒ１＝３ という解釈不能な事態に陥ります。
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
なかなか鋭い視点ですが、質問者さんが言っていることの逆が言えなければいけません。 質問者さんが言っているのは、 実数a,bについて、a=0かつb=0ならばa*b=0 ということです。 ですが因数分解した後に方程式を解くという事を考えるならば、これの逆が必要になります。 具体的には 実数a,bについて、a*b=0ならばa=0かつb=0 です。 しかしこれが成り立たないことは感覚的にも分かるでしょう。 反例を挙げるならば、a=0,b=2のときa*b=0であるがb≠0、となります。 上記の事は成り立ちませんが、少しだけ変えて次の非常に重要な定理が成り立ちます。 実数a,bについて、a*b=0ならばa=0またはb=0 これは成り立ち証明も出来る事実です。 このことから (R1-2)(R1-3) = 0 ならば R1-2=0 または R1-3=0 すなわち R1=2 または R1=3 が言えるのです。 さて、『実数a,bについて、a*b=0ならばa=0またはb=0』について少し説明を加えましょう。 これは言い換えると aもbも0ではないような場合にa*b=0となることはない ということです。 これは実数や有理数については成り立ちますが、それ以外の数についてどんな場合も成り立つ訳ではありません。 分からないかも知れませんが具体例を挙げましょう。分からなければ読み飛ばしても結構です。 6を法とする余剰系において 2*3 = 6 ≡ 0 (mod 6) しかし 2 ≠ 0 (mod 6) 3 ≠ 0 (mod 6) その他、A,Bを正方2次行列として A= [0,1] [0,0] B= [1,0] [0,0] のとき、AB=0であるがA≠0,B≠0、なども挙げられます。 本題に戻りましょう。この定理はどんな場合も無条件に成り立つわけではありません。 しかし実数を考える上では必ず成り立ちます。ですから実数の性質を使って証明しましょう。 (性質1)全ての実数aについて0*a=a*0=0となる実数0が存在する (性質2)全ての実数aについて1*a=a*1=aとなる実数1が存在する (性質3)0以外の実数aについてa*b=b*a=1となるような実数bが存在する。 このようなbをaの積の逆元と呼びa^(-1)と書く。 (性質4)全ての実数a,b,cについて(a*b)*c=a*(b*c)が成り立つ さて、いまa≠0でありa*b=0と仮定しましょう a*b = 0 (性質3)より、a≠0であるからaの積の逆元a^(-1)が存在する、a^(-1)を両辺に左から掛けると a^(-1)*(a*b) = a^(-1)*0 (性質4)より (a^(-1)*a)*b = a^(-1)*0 (性質3),(性質1)より 1*b = 0 (性質2)より b = 0 よって、『a≠0,a*b=0ならばb=0』が証明された。 同様にb≠0を仮定してb^(-1)を右から掛けることで、『b≠0,a*b=0ならばa=0』が証明できる。 以上より 実数a,bについて、a*b=0ならばa=0またはb=0 が証明された。
お礼
(R1-2)(R1-3) = 0 より求めていた回答が得られましたありがとうございました。つまりこの条件になるには（R1-3)＊0＝0か（R1-2）＊0＝0のどちらかでR1-3＝0ならば答えはR1＝3となるということですね。納得いきました。ありがとうございます、またお目に止まればご教授ねがいます。
- sanori
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こんばんは。 ａとｂが解の二次方程式は、 （ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）＝０ と書けます。 展開すると、 ｘ^2 － （ａ＋ｂ）ｘ ＋ ａｂ ＝ ０ になります。 ここで、Ｒ１^2 － ５Ｒ１ ＋ ６ ＝ ０ について考えると、 ａ＋ｂ ＝ ５ ａｂ ＝ ６ となるようなａとｂを探せばよいことになります。 足して５になり、かけると６になるのは、２と３の組合せです。 ですから、 Ｒ１^2 － ５Ｒ１ ＋ ６ ＝ ０ の解は、２と３であり （Ｒ１－２）（Ｒ１－３）＝０ とも書けるということです。
お礼
早速の回答ありがとうございます、解の公式以外で解く方法もわかって勉強になりました。ありがとうございました。上記の事で一番気になってる解の公式の答えがR1＝2、R=3となったときの（R1-2）（R1-3）＝0への変換方法はどのように理解すれば良いのでしょうか？？
お礼
上記の「（R1-2）（R1-3）＝０×何か ⇒ Ｒ１＝２ または （R1-2）（R1-3）＝何か×０ ⇒ Ｒ１＝３ 」 つまり（R1-2）＊0＝0ならば（R1-3）＝0よりR1＝３より納得ができました、ありがとうございます。またお目に止まればご教授ください。ありがとうございました。