対角化可能の条件が分かりません…

質問

数学の行列問題で分からないところがあり困っています。

行列Ａ(2×2行列)で

Ａ =
「a+1 8
2 a+1」
となっていて、
行列Ａが対角化可能である場合の変数aの取るべき条件を求めよ
という問題なのですが、全く解法が分からず困っています。

また同様の問題で
行列Ｂ(3×3行列)で
Ｂ　＝
「0 b b-c
b 0 b
b-c b 0」
この時の行列Ｂを対角化できない条件を示しなさい
という問題も全くどう手を付けてよいのかわかりません。

どなたか教えていただけるとたいへん助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

1.
A=
(a+1,8)
(2,a+1)
の固有値は
a+5
a-3
固有値a+5に応ずる右固有ベクトルは
(2)
(1)
固有値a-3に応ずる右固有ベクトルは
(-2)
( 1)
だからこれを横に並べたものを
P=
(2,-2)
(1, 1)
とすると
P^{-1}AP=
(a+5,0)
(0,a-3)
となって
任意のaに対して
P^{-1}APは対角線形となるから
aの取るべき条件は
無条件

2.
B=
(0,b,b-c)
(b, 0 ,b)
(b-c,b,0)
とすると
bとcが両方実数の場合
たとえ固有方程式が重根をもつとしても
Bは実対称行列となるからBは対角化可能となるので、
bまたはb-cのどちらかが実数でない事が
対角化できないための必要条件となる。

Bの固有値は
c-b
α={b-c+√(9b^2-2bc+c^2)}/2
β={b-c-√(9b^2-2bc+c^2)}/2
固有値c-bに応ずる固有ベクトルは
(1;0;-1),(;は改行)
b≠0&
α≠β
のとき
固有値αに応ずる固有ベクトルは
(α;2b;α)
固有値βに応ずる固有ベクトルは
(β;2b;β)
だからこれを横に並べたものを
P=
( 1,α,β)
( 0,2b,2b)
(-1,α,β)
とすると
P^{-1}AP=
((c-b),0,0)
(0, α,0)
(0, 0,β)
となって
b≠0&
α≠β
のとき
P^{-1}APは対角線形となるから
bまたはb-cのどちらかが実数でなく
b=0またはα=βが
対角化できないための必要条件となる。
b=0のとき
B=
(0,0,-c)
(0, 0,0)
(-c,0,0)
Bの固有値は
c,0,-c
固有値cに応ずる固有ベクトルは
(1;0;-1)
固有値0に応ずる固有ベクトルは
(0;1;0)
固有値-cに応ずる固有ベクトルは
(1;0;1)
だからこれを横に並べたものを
P=
( 1,0,1)
( 0,1,0)
(-1,0,1)
とすると
P^{-1}AP=
(c,0, 0)
(0,0, 0)
(0,0,-c)
となって
b=0のとき
P^{-1}APは対角線形となるから
bまたはb-cのどちらかが実数でなく
α=βが
対角化できないための条件となる。
α=βのとき
9b^2-2bc+c^2=0
(c-b)^2=-8b^2
c=b(1±2i√2)

b≠0&
c/b=1±2i√2
のとき
Bの固有値は
c-b
(b-c)/2
固有値c-bに応ずる固有ベクトルは
x(1;0;-1)だから固有空間の次元は1
固有値(b-c)/2に応ずる固有ベクトルは
s(b-c;4b;b-c)だから固有空間の次元は1
だから
固有空間の次元の合計は2となる
一方
P^{-1}AP=Hが対角線形となるPがあるとすると
AP=PHとなって
Pは1次独立な固有ベクトルを3つ並べたものであるから
固有空間の次元の合計は3でなければならないから
P^{-1}APが対角線形となるPは存在しない
∴対角化できないための条件は
b≠0&
c/b=1±2i√2

回答No.1

Tacosan

最小多項式が重解を持つ iff 対角化不能