行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いします。
- 行列Aを対角化するための行列を求めようとしています。固有値の条件や計算の誤りなどを含めて、行列Aの対角化についてご指摘お願いします。
- 行列Aの固有値を求め、対角化するための行列Pを求めたいですが、何か間違いがあるようです。行列Aの対角化についてアドバイスいただけないでしょうか。
- 行列の対角化に関する問題で困っています。行列Aの固有値や固有ベクトルを求め、対角化する行列Pを求める方法を教えていただけませんか？
- ベストアンサー
行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いし
行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いします。 行列A [-3 -1 -5] [1 1 1] [3 1 5] を対角化するための行列を求めようとしようとしています。 Aに関しては、Ax=txとおき、tを対角行列、xを固有ベクトルとすると、 (tE-A)x=0と変形できるため、x≠0であるためには、 |tE-A|=0が条件になります。 これを解くと、t=0,1,2が得られます。 3次正方行列において、3つの異なる固有値が得られたため、 行列Aは対角化可能です。(前提１ この前提が間違っている？) P^-1・A・P=B (前提２：Bは対角行列、P,P^-1は正方行列) となるようなPの条件は、 (tE-A)=0を満たす行列の組み合わせ、すなわち、固有値0の時のa(1,1,-1),固有値1の時のb(1,1,-1), 固有値2の時のc(1,0,-1)(※a,b,cは任意の数)の組み合わせです。 ところが、これらの組み合わせでできる、例えば 行列C: -1 1 1 1 1 0 1 -1 -1 は正方行列ではなく(rankC=2)、C≠Pです。 そのため、行列Aを対角化することができません。 前提１，前提２のどちらかが間違っているのでしょうか。 それとも、計算をどこか間違えているのでしょうか。 求めたいのは、行列Aを対角化する行列Pです。 どなたか、よろしくお願いいたします。
- entap
- お礼率29% (93/313)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数19
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
固有値が0のときの固有ベクトル (0E-A)x=-Ax=0になるようなものは [3 1 5][a] [-1 -1 -1][b]=0になる(a,b,c)^Tのベクトルは [-3 -1 -5][c] (1,1,-1)^Tですか？ あとC行列の1行目(-1,1,1)も求めたものと形が違います
関連するQ&A
- この行列問題を早くとく方法
実３次正方行列Ａ Ａ＝|(7/2) 0 -(9/2) | | 1 1 1 | |-(9/2) 0 (7/2) | について Ｂ^3=A となる実３次正方行列Ｂを一つ求めよ という問題ですが、以下の方法より早く解く 方法がありましたら教えてください (*は行列同士の積の操作とします) 私はＢは対角化可能の行列とし、 そこから Ｂ^3 =P *(P^(-1)*B*P)^(3)*P^(-1) =A これに左からP^(-1)、右からPをかけ (P^(-1)*B*P)^(3)= P^(-1)*A*P そしてＡの固有値を求め、固有ベクトルから ＰとＰ^(-1)を求め、Ａを対角化する （対角要素は固有値） 対角化されたＡの要素の三乗根を求め 左からＰ、右からP^(-1)をかけＢを求めました しかし、これよりもっと早く解ける方法が あると思うのです。 ポイントはＢを一つ挙げよ、というとこだと思うのですが・・ どうかおねがいします
- 締切済み
- 数学・算数
- 行列
｜－１ ０ ２｜ ｜－１ １ １｜ ｜－１ ０ ２｜ 行列Ａを対角化可能ならば、正則行列Ｐを求めてP^(-1)APを対角行列にせよ。という問題で、 自分で計算し、 Φ(x)=x(x-1)^2 となって 固有値はx=0,1 ですよね？ そしてx=1のとき、Ｗ１の基底が１つ、たとえば （１ ０ １）t と （０ １ ０）t そしてx=2のとき、Ｗ２の基底が２つでてきました。たとえば （２ １ １）t これらをくっつけて、Pを ｜１ ０ ２｜ ｜０ １ １｜ ｜１ ０ １｜ としてさらにＰ^(-1)をもとめてもP^(-1)APが対角行列になりません！ 何回もやったので計算間違いはないはずなのですが、どこがいけないのでしょうか・・・ ちなみに答えはないのですが、基底が３つ出てくるのに対角化できないことってあるのでしょうか？？ 確認をおねがいします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列を対角化する問題
A=(1 -1 -3) (3 -2 -3) (-3 3 2) 行列Aを対角化せよという問題です。 特性方程式g(t)=0にして固有値を求めたらt=-1,1,2でした。 で、t=-1とt=1をtE-Aに代入して簡約化してみたら 同じ固有ベクトルのc（1 0 1）^tになりました。 こうなったらAを対角化できないのではと思います。 何べんも計算をやり直しました、結果は同じです。 どこが間違っているのかをお教えできませんか？よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の問題を教えてください。
行列の問題で解けなくて困っています. よろしければ教えていただけないでしょうか。 行列に関係する以下の問い(1)～(4)に答えよ。 (1)2行2列の行列をAとする。さらにその固有値をλ1，λ2(λ1≠λ2)とし、それぞれに付随する固有ベクトルを(x1，y1)と(x2，y2)とする。 P≡ ｜x1 x2｜ ｜y1 y2｜ と置くと、固有値と固有ベクトルの定義から AP＝P|λ1 0| |0 λ2| と書ける。ここから、 A＝P｜λ1 0｜P^－1 ｜ 0 λ2| および A^ｎ＝P|λ1 0｜^ｎP^-1 |0 λ2| となることを示せ。ここでP^-1はPの逆行列、ｎは正の整数、A^ｎは行列Aのｎ乗を示す。 (2)固有値が1と－1である2行2列の行列Bがある。この行列のｎ乗B^ｎを求めよ。さらにその逆行列(B^ｎ)^－1を求めよ。B^ｎと(B＾ｎ)^－1の両方において、ｎが偶数と奇数で答えが異なるので、両者を区別して答えを示せ。必要なら2つの正則な正方行列B1、B2の積の逆行列が (B1B2)^－1＝B2^－1B1^－1 となることを使え。 (3)固有値が1と－1で、それぞれに付随する固有ベクトルが(2，1)と(1，1)である2行2列の行列Cを求めよ。 (4)xとyを未知数とする次の連立方程式 |3 －4|^21 |x| ＝|10| |2 －3| |y| |7| を解け。ここで |3 －4|^21 |2 －3| は行列 |3 －4| |2 －3| の21乗を表す。 という問題です。 計算過程、解答のほうをどうかよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数 行列 対角化
対角化について質問させて頂きます。 対角化とは、 「正方行列を適当な線形変換により、もとの行列と同値な 対角行列に帰着させること。」 と説明がありました。 ここで、同値とは具体的にどのような内容を指すのでしょうか？ また、対角化を求める際、 正方行列Aに対してP^-1APとなる正則行列Pを求めます。 この正則行列Pは正方行列Aより求めた固有値に属する固有ベクトル を並べたものになりますが、これはなぜですか？ なぜ、固有ベクトルを並べたものが正則行列Pになるのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の計算の仕方
(a)5x^2+2xy+5y^2-18x+6y+9=0 であらわされる2時曲線を |a11 a12 b1| |x| (x,y,1）|a12 a22 b2| |y|= τXA~X = 0 |b1 b2 c2| |1| の形に表したとき 行列 A~を求めよ。 (b)A~の左上の2行2列の行列をAとしたとき Aを対角化せよ (C)bの対角かする行列をTとするとき、それを左上の2行2列の行列とし 対角線上の右下を1にした行列T~を求めよ (d)τT~A~T~を計算し、 曲線の中心を原点に平行移動させて標準形を導け。 こういった問題の解き方を覚えたいのですが。自分はどうも要領が悪いので… 解く手順かわかりやすいページをどなたか教えていただけると助かります。
- 締切済み
- 数学・算数
- 対角化行列
三次正方行列Ａ＝ ( ) | １ １ ０ | | １ １ １ | | ０ １ １ | ( ) 書き方わからないので見にくい方いたら申し訳ありません。（左上と右下だけ０であとはすべて１です。） この行列を対角化するんですが、固有値はλ1=1, λ2=1+√2, λ3=1-√2 の三つで、それぞれの固有ベクトルってλ1で、x=[1 0 -1] λ2で、x=[1 √2 1] λ3で、x=[1 -√2 1]となったのですが、これってあってますか？ （↑はそれぞれ正規化してません、対角化行列を作るときはλ2,λ3のノルムである２にλ1をあわせるようにして作りました。） 対角化行列の逆行列を求めるときにどうしてもおかしくなってしまいます。よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の標準化について質問です。
行列の標準化について質問です。 手元の参考書では、A= 1 4 3 2 の行列を対角化する際の手法として、2次元行列P x1 x2 y1 y2 をおき、 P^-1AP=B,B= t1 0 0 t2 とおいた際に、 AP=BPを変形し、 x+4y=tx ] 3x+2y=ty ]・・・α という連立方程式に変換した上で、x,yをPの成分として Pを求めています。 解法として、Aの固有値を求めるため、α≠0としてtの範囲をもとめ(この場合はt=-2,5となります) αにt=-2,5を代入し、 x=y=a(aは任意の数) x=4b,y=-3b(bは任意の数)を導いています。 ここまでは理解できるのですが、参考書ではこの後、 a=1,b=1を代入して、P= 1 4 2 -3 より、P^-1AP= 5 0 0 -2 となって対角化できた、と説明しています。 Pはなぜ 1 4 2 -3 となり 4 1 -3 2 とはならないのでしょうか。 x1 x2 y1 y2 の並びの、x1とx2に2解あるXのどちら側を当てはめればよいか、 どうやって判断するのでしょうか。 固有ベクトルを算出した後、実際にP^1APを計算してどの組み合わせになるのか調べる必要があるのでしょうか？ 2次行列ならまだしも、n次行列の場合は手も足も出ません。 行列の分かる方、教えていただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
Cの一列目は(2,-1,-1)^tですね… おかげさまで解けました。ありがとうございました！