行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いし

質問

行列の問題が解けません。計算間違いや思考の間違いがあればご指摘お願いします。
行列A
[-3 -1 -5]
[1　 1 　1]
[3　 1 　5]
を対角化するための行列を求めようとしようとしています。
Aに関しては、Ax=txとおき、tを対角行列、xを固有ベクトルとすると、
(tE-A)x=0と変形できるため、x≠0であるためには、
|tE-A|=0が条件になります。

これを解くと、t=0,1,2が得られます。
3次正方行列において、3つの異なる固有値が得られたため、
行列Aは対角化可能です。(前提１　この前提が間違っている？)

P^-1・A・P=B
(前提２：Bは対角行列、P,P^-1は正方行列)
となるようなPの条件は、
(tE-A)=0を満たす行列の組み合わせ、すなわち、固有値0の時のa(1,1,-1),固有値1の時のb(1,1,-1),
固有値2の時のc(1,0,-1)(※a,b,cは任意の数)の組み合わせです。
ところが、これらの組み合わせでできる、例えば
行列C:
-1　1　1
1　1　0
1　-1　-1
は正方行列ではなく(rankC=2)、C≠Pです。
そのため、行列Aを対角化することができません。
前提１，前提２のどちらかが間違っているのでしょうか。
それとも、計算をどこか間違えているのでしょうか。

求めたいのは、行列Aを対角化する行列Pです。
どなたか、よろしくお願いいたします。

回答No.2

anisakis · ベストアンサー

固有値が0のときの固有ベクトル
(0E-A)x=-Ax=0になるようなものは
[3　 1 　5][a]
[-1　-1 -1][b]=0になる(a,b,c)^Tのベクトルは
[-3　-1 -5][c]

(1,1,-1)^Tですか？
あとC行列の1行目(-1,1,1)も求めたものと形が違います

お礼

Cの一列目は(2,-1,-1)^tですね…
おかげさまで解けました。ありがとうございました！

回答No.3

anisakis

C行列の1「行」目じゃなくて1「列」目です
あと(-1,1,1)ではなく(-1,1,1)^Tです
すみませんでした

回答No.1

Tacosan

固有ベクトルが間違ってます.

お礼

計算しなおして、対角化できました。ありがとうございました。